Extremwerte von der Funktion f (x, y) := 1/x + 1/y + x + y bestimmen.Wie globale Extrema?

Question

Sei D := {(x, y) ∈ ℝ² : x > 0 und y > 0} und f : D → ℝ, f (x, y) := 1/x + 1/y + x + y.

a) Bestimme Lage und Art der lokalen Extrema.

b) Besitzt f auch globale Extrema?

Die kritischen Punkte habe ich bestimmt. Diese wären:  P₁=(1, 1) ,  P₂=(1, -1) , P₃=(-1, 1) und P₄=(-1, -1).

Zu P₁ habe ich den doppelten Eigenwert 2. -> positiv definit -> Minimum.

Zu P₂ habe ich die Eigenwerte 2 und -2 -> indefinit -> Sattelpunkt.

Zu P₃  habe ich die Eigenwerte -2 und 2 -> indefinit -> Sattelpunkt.

Zu P₄ habe ich den doppelten Eigenwert -2 -> negativ definit -> Maximum.

b) Wie bekomme ich nun die globalen Extrema. Kann ich diese aus den Eigenwerten ablesen oder muss ich eine separate Rechnung machen. Und wie würde diese aussehen. Könnte mir das jemand zeigen?

Answer 1

Hallo IE,

bei a) sieht alles gut aus:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=optimize++1%2Fx%2B1%2Fy%2Bx%2By

Man kommt hier sogar mit folgenden einfachen Kriterien aus ( [...] kommt nicht vor ):

Für jeden der richtig erhaltenen stationären (kritisichen) Punkte prüft man durch Einsetzen:

f_xx • f_yy - f_xy²    > 0 → Extrempunkt 

                         < 0  → Sattelpunkt

                        [  = 0     erfordert weitere Betrachtung mit der Hessematrix ]

im Fall "Extremum" weiter:

f_xx  < 0  →  Hochpunkt 

       > 0  →  Tiefpunkt

       = 0   kann nicht vorkommen

Zu b)   

Globale Extremwerte gibt es nicht:

An der Stelle (0|1) ist die Funktion nicht definiert.

Bei Annäherung an diese Stelle [ (x,1) → (0,1) ]  nimmt f(x,y) sowohl beliebig große positive als auch beliebig kleine negative Funktionswerte an.

Gruß Wolfgang

Comments

danke für die Hilfe. Jedoch verstehe ich die Argumentation bei b) nicht.

f(x, y):=x³+6xy²-2y³-12x    https://www.wolframalpha.com/input/?i=optimize++x%5E(3)%2B6xy%5E(2)-2y%5E(3)-12x

Kannst du mir das an der Funktion oben genauer erläutern?

Danke dir.

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f(x, y) := x³+6xy²-2y³-12x 

Wegen der Summanden x³ und -2y³ wird doch f(x,y) offenssichtlich für genügend große x mit genügend kleinem y beliebig groß und umgekehrt.

Zur Verdeutlichung kannst du ja mal entsprechende Punkte (x|y) einsetzen:

(1000000 | -1000000)  bzw.  (-1000000 | 1000000)

Bei der Funktion in der Aufgabe  kannst du mal

( 0,00001 | 1)  und ( - 0,00001 | 1)  einsetzen, und dir dann vorstellen, dass der Betrag von x ≠ 0 beliebig klein wird  →  f(x,y)  wird beliebig groß (klein)