Untersuchung der Ränder einer Potenzreihe.

Question

$$ \sum _{ k=4 }^{ \infty  }{ \frac { 8 }{ { 64 }^{ k } }  } \cdot { \left( 2x-4 \right)  }^{ 3k }\\ \\ \Rightarrow { a }_{ k }=\quad 8\cdot \left( \frac { 1 }{ { 64 }^{ k } }  \right) \quad \quad ;\quad { x }_{ 0 }=\quad 2\\ \\ q=\lim _{ k\rightarrow \infty  }{ \sqrt [ k ]{ \left( \frac { 1 }{ 64 }  \right) ^{ -k } }  } =\quad 64\quad \Rightarrow \quad \rho =\quad \sqrt [ 3 ]{ \frac { 1 }{ 64 }  } =\frac { 1 }{ 4 } \cdot \quad 8\quad =\quad 2\\ \\ \forall \quad x\quad \in \quad ]0\quad ,4[\quad konvergiert\quad die\quad Reihe.\\ \\ Jetzt\quad will\quad ich\quad noch\quad die\quad Ränder\quad untersuchen\quad und\quad den\quad Reihenwert\quad für\quad x=1\quad bestimmen,\quad komme\quad aber\quad nicht\quad weiter. $$

Answer 1

Hallo Denker2.0! :-)

Setze einen Randpunkt in die Reihe ein und vereinfache so weit wie möglich durch die Anwendung der Potenzgesetze wie z.B. \( (-4)^{3k} = ((-1)\cdot4)^{3k} = (-1)^{3k} \cdot 4^{3k}= (-1)^k \cdot 64^k \). Dann wende ein Konvergenzkriterium für Reihen an. Hier dürfte das Nullfolgenkriterium von Vorteil sein.

Um den Grenzwert für \( x = 1 \) zu berechnen, setze \( x=1 \) in die Reihe ein, vereinfache, und schreibe die Summanden einer Partialsumme auf: \( \sum_{k=4}^{\infty}{ \frac{8}{64^k}(-2)^{3k}}  = \frac { 8 }{ 8^4 } - \frac { 8 }{ 8^5 } + \frac { 8 }{ 8^6 } - \frac { 8 }{ 8^7 } + ...\) bis Du ein Bildungsgesetz erkennen kannst, das Dir ermöglicht, die Reihe als Differenz von zwei geometrischen Reihen^(*) zu schreiben. Der Grenzwert ist die Differenz dieser beiden Reihen, den Du mit der geometrischen Summenformel berechnen kannst.

Zur Kontrolle:
 \( \sum_{k=4}^{\infty}{ \frac{8}{64^k}(-2)^{3k}}  = \frac { 1 }{ 576 } = 0,001736\overline{1} \)

Beste Grüße
gorgar

(*)
Nachtrag: Genau genommen sind das wohl nicht zwei geometrische Reihen, denn eine
geometrische Reihe startet mit einem Indexwert gleich Null, die beiden Reihen(siehe Kommentar) starten mit k=2.
Dennoch lässt sich der Grenzwert mit Hilfe der geometrischen Summenformel berechnen.

Comments

danke, die randwertbetrachtung hab ich jz durchgeführt, ist ein geschlossenes konvergenzintervall, aber der Reihenwert... hab jz als bildungsvorschrift:  8* ∑(1/8^k).

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:-)

danke, die randwertbetrachtung hab ich jz durchgeführt, ist ein geschlossenes konvergenzintervall,

Vermutlich ist etwas bei der Umformung schief gelaufen.

Durch Einsetzen von \( x=0 \) in  \( \frac { 8 }{ 64^k } (2x-4)^{3k} \) bekommen wir \( \frac { 8 }{ 64^k } (-4)^{3k} \), woraus wir durch Umformen \( 8(-1)^{3k} \)erhalten und mit dem Nullfolgenkriterium folgt die Divergenz der Reihe für  \( x=0 \).
Wir setzen \( x=4 \) in die Reihe ein und bekommen \( \frac { 8 }{ 64^k } 4^{3k} = 8 \). Für  \( x=4 \) divergiert die Reihe mit dem Nullfolgenkriterium. Die Reihe konvergiert für alle \( x \in (0, 4) \)

hab jz als bildungsvorschrift:  8* ∑(1/8k)

Hier ist wohl auch etwas bei der Umformung schief gelaufen.

Aus \( \sum_{k=4}^{\infty}{\frac { 8 }{ 64^k } (2x-4)^{3k}} \) wird durch Einsetzen von \( x=1 \) die Reihe \( \sum_{k=4}^{\infty}{\frac { 8 }{ 64^k } (-2)^{3k}} \) und nach dem Vereinfachen wird daraus \( \sum_{k=4}^{\infty}{\frac { 8 }{ 64^k } (-2)^{3k}} = \sum_{k=4}^{\infty} \frac{(-1)^k \cdot 8}{8^k} \)
Hier die Umformungsschritte, die prizipiell ähnlich sind wie die Umformungen bei der Betrachtung der Konvergenz der Randpunkte:
$$\frac { 8 }{ 64^k } (-2)^{3k} = \frac { 8 }{ 64^k } ((-1)\cdot2)^{3k} = \frac { 8 }{ 64^k } (-1)^{3k} \cdot2^{3k} = \frac { 8 }{ 64^k } \left((-1)^3  \right)^k \cdot \left(2^3  \right)^k = 8 \cdot (-1)^k \cdot \frac{\left(2^3 \right)^k}{64^k } = 8 \cdot (-1)^k \cdot \left(\frac{\left(2^3 \right)}{64 }  \right)^k =  8 \cdot (-1)^k \cdot \left(\frac{ 2^3 }{64 }  \right)^k =  8 \cdot (-1)^k \cdot \frac{ 1 }{8^k } =  (-1)^k \cdot \frac{ 8 }{8^k }  $$
Für \( x=1 \) bekommen wir also die Reihe \( \sum_{k=4}^{\infty} \frac{(-1)^k \cdot 8}{8^k} \) deren Grenzwert bzw. Reihenwert uns interessiert.
Es ist \(  \sum_{k=4}^{\infty} \frac{(-1)^k \cdot 8 }{8^k} \) =  \( \frac { 8 }{ 8^4 } - \frac { 8 }{ 8^5 } + \frac { 8 }{ 8^6 } - \frac { 8 }{ 8^7 } + ...\) woraus wir eine Differenz von zwei Reihen bilden können: \( \frac { 8 }{ 8^4 } - \frac { 8 }{ 8^5 } + \frac { 8 }{ 8^6 } - \frac { 8 }{ 8^7 } + ... = \)  \( \frac { 8 }{ 8^4 } + \frac { 8 }{ 8^6 } + ... - \left( \frac { 8 }{ 8^5 } + \frac { 8 }{ 8^7 } + ... \right)= \sum_{k=2}^{\infty}{\frac { 8 }{ 8^{2k} }}  -  \sum_{k=2}^{\infty}{\frac { 8 }{ 8^{2k+1} }} \) , die wir mit Hilfe der geometrischen Summenformel berechnen können.

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Nachtrag: Berechnung des Grenzwerts.

$$ \sum_{k=2}^{\infty}\frac{8}{8^{2k}} - \sum_{k=2}^{\infty}\frac{8}{8^{2k+1}} =  \\\sum_{k=2}^{\infty}\frac{8}{64^k} - \sum_{k=2}^{\infty}\frac{1}{64^k} = \\\left(\left(\sum_{k=0}^{\infty}\frac{8}{64^k}  \right) - 8 - \frac{1}{8} \right) - \left(\left(\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{64^k}   \right)-1 - \frac{1}{64}  \right)= \\\left(\left( \frac{8}{1-\frac{1}{64}}  \right) - 8 - \frac{1}{8} \right) - \left(\left(  \frac{1}{1-\frac{1}{64}}  \right)-1 - \frac{1}{64}  \right)= \\\left(\left( \frac{512}{63}  \right) - 8 - \frac{1}{8} \right) - \left(\left(  \frac{64}{63}  \right)-1 - \frac{1}{64}  \right)= \\\left( \frac{1}{504} \right) - \left(  \frac{1}{4032}  \right) = \frac{1}{576} $$