Berechnen Sie zur Kostenfunktion K(x) = 0,05x^3 - 2,36x^2 + 95x +3000 c) Grenzkosten

Question

Berechnen Sie zur Kostenfunktion K(x) = 0,05x^3 - 2,36x^2 + 95x +3000

a) die Kostenkehre (kann ich)
b) das Betriebsoptimum und die lPU (kann ich)
c) die Grenzkosten, wenn die Produktion von 20 auf 45 Stück erhöht werden soll?

Hier ist mein Problem:

Die Lösung lautet 107,85 € (GE)
Mit der Grenzkostenfunktion komme ich zwar auf die Kosten die für EINE weitere Mengeneinheit anfallen, habe aber keine Ahnung wie ich auf die Lösung zur Fragestellung c komme.

Answer 1

Hallo Emin,

gemeint ist hier  der Differenzenquotient

( K(45) - K(20) ) / (45 - 20)  = 107.85  [GE/ME]

Gruß Wolfgang

Comments

Vielen Hab schon graue Haare bekommen :-)

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Wolfgang kann ich dir bitte noch eine Frage stellen:

K(x)= 0,003x^3 - 0,6x^2 +95x +300
p (x) = 199-0,39x

Berechne die langfr. PU

k(x) = K(x)/x = 0,003x^2 - 0,6x +95 +300/x
k'(x) = 0,006x - 0,6 - 300/x^2
k'(x) = 0 --> kann die Ableitung nicht null setzen, auch der GTR kommt zu keiner Lösung

Lösung im Lösungsheft: 67,94 €

Wie komme ich drauf?

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k'(x) = 0.006·x - 0.6 - 300/x² = 0

⇔ 0.006·x³ - 0.6 · x² - 300 = 0

Ein guter Rechner sollte das schaffen.

"Von Hand" kann man diese Gleichung nur mit einem Näherungsverfahren (z.B. dem Newtonverfahren) oder sehr aufwändig mit den Formeln von Cardano lösen.

Die Lösung ist  x ≈ 104,5723190  (Betriebsoptimum)

Setzt man diese in k(x) ein, erhält man die langfristige Preisuntergrenze

67,93154633 GE,  also bis auf Rundungsfehler das geforderte Ergebnis 

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Newtonverfahren:

Berechnen der Nullstellen von f(x)  (f muss differenzierbar sein) 

hier  f(x) = 0.006·x³ - 0.6·x² - 300 

       f '(x) = 0.018·x² - 1.2·x

Ausgehend von einem (möglichst guten) Startwert, den man z.B mit einem Plotter oder zwischen zwei x-Werten findet, deren Funktionswerte verschiedenes Vorzeichen haben, findet man - auch mit einem einfachen Taschenrechner -  immer bessere Werte mit der Formel

x_neu =  x_alt - f(x_alt) / f ' (x_alt)

z.B. Startwert x=50

x	f(x)	f '(x)
50	-1050	-15
-20	-588	31,2
-1,153846154	-300,8080337	1,408579882
212,4002714	30124,87098	557,1694298
158,3325689	8474,105854	261,2465602
125,895373	2162,594807	134,2191614
109,7829582	407,4427576	85,20181248
105,0008679	30,81288112	72,45223922
104,5755825	0,232860623	71,35824517
104,5723192	1,36555E-05	71,349876
104,572319	9,09495E-13	71,34987551
104,572319	0	71,34987551