Ist meine Stammfunktion von f(x)= 1/(x^2+3x+2) richtig?

Question

f(x)= 1/(x²+3x+2)

Ich habe es einfach mit der Kettenregel gemacht und ausgenutzt, dass der ln die Stammfunktion von 1/x ist.

F(x)= ln(x²+3x+2)*(1/(2x+3))

In der Übung wurde es mit Partialbruchzerlegung gemacht und was anderes raus...

Answer 1

überprüfe ob

$$ F'(x)=f(x) $$

gilt.

Answer 2

Deine Stammfunktion ist nicht richtig, wie du durch Ableiten feststellen kannst.

Comments

Danke, Habe meinen Fehler...Habe lineare Substitution benutzt..mein innerer Ausdruck ist aber nicht linear

Answer 3

Hi,

Es gibt mehrere Ansätze bei diesem Typ von Integral. Zum einen die Partialbruchzerlegung, dann gibt es noch die Methode bei der man geschickt umformt, um dann auf den arctan zu kommen bzw. auf eine ln(x) Form.

Hierbei bedarf es der PBZ:

$$ \frac { 1 }{ x²+3x+2 } =\frac { 1 }{ (x+1)(x+2) }  $$

$$ \frac { A }{ x+1 } +\frac { B }{ x+2 } =\frac { A(x+2) }{ x+1 } +\frac { B(x+1) }{ x+2 } =\frac { (A+B)x\quad +\quad (2A+B) }{ x²+3x+2 }  $$

$$ LGS\quad =\quad \begin{pmatrix} A & B & 0 \\ 2A & B & 1 \end{pmatrix}=\quad A=1,\quad B=-1 $$

$$ \frac { 1 }{ x²+3x+2 } =\frac { 1 }{ x+1 } -\frac { 1 }{ x+2 }  $$

Jetzt sind diese beiden Bruchterme zu integrieren:

$$ \int { \frac { 1 }{ x+1 } -\frac { 1 }{ x+2 }  }  $$

$$ F(x)=ln(|x+1|)-ln(|x+2|)+C $$

Q.e.d