Parametrisierung Menge

Question

ich habe bei folgender Menge Probleme eine passende Parametrisierung zu finden um den Flächeninhalt auszurechnen.

\( \mathscr{F}:=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: z=x^{2}+y^{2}, 0<x^{2}+y^{2}<1\right\} \)

Für mich sieht das aus wie ein elliptischer Paraboloid. mit z=x^2 + y^2 , 0 < z < 1.

Also folgt unter Verwendung von Zylinderkoordinaten mit z = r^2 da x^2 + y^2 = r^2 ist.

$$x=rcos(\varphi)\\y=rsin(\varphi)\\z=r^2$$

Nach jeweiliger Ableitung (r und varphi Richtung) und Kreuzprodukt erhalte ich:

$$x=-2r^2cos(\varphi)\\y=-2r^2sin(\varphi)\\z=r^2$$

z= r^2 *(cos^2(\varphi)+sin^2(\varphi) (irgendwie wollte das Tex nicht schreiben)

Eingesetzt und nach Bildung des Betrages

\( \iint_{\bar{D}}\left\|F_{u}(u, v) \times F_{v}(u, v)\right\| d(u, v) \) 

erhalte ich

\( \sqrt{\left(-2 r^{2} \cos (\phi)\right)^{2}+\left(-2 r^{2} \sin (\phi)\right)^{2}+r^{2}} \)

was ich in das erwähnte Doppelintegral einsetze.

Jetzt ist die Frage, stimmt mein Weg? In der Musterlösung gehen sie anders vor und verwenden Polarkoordinaten... :)

Comments

Schlampig aufgeschrieben, aber soweit richtig gerechnet. (Zylinderkoordinaten kommen hier aber keine vor.)

Alternativ kannst Du die explizite Darstellung \(z=x^2+y^2\) der Flaeche als Graph verwenden. Da gibt es auch eine Formel zu, bei der man sich das Kreuzprodukt spart.

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Ich habe doch aber mit (das sind doch Zylinderkoordinaten)

$$x=rcos(\varphi)\\y=rsin(\varphi)\\z=z $$

parametisiert und z mit z = x^2 + y^2 substituiert, weiterhin gilt x^2 +y^2 = r^2 daraus folgt

$$x=rcos(\varphi)\\y=rsin(\varphi)\\z=r^2 $$

Answer 1

das Flächenelement hast du soweit richtig aufgestellt.

Das kannst du noch mit dem trig. Pythagoras vereinfachen.

Dann hast du

$$ A=\int_{0}^{2\pi}d\varphi\int_{0}^{1}\sqrt { 4r^4+r^2 }dr\\A=2\pi\int_{0}^{1}r\sqrt { 4r^2+1 }dr  $$

Das übrige Integral kannst du mit Substitution lösen.

Comments

Vielen Dank für die Antwort! Die Vereinfachung hatte ich schon in der weiteren Ausarbeitung vorgenommen, ich wollte aber erstmal den "Rohling" präsentieren!

Könntest du mir eventuell noch erläutern wie in der Musterlösung die Parametrisierung gewählt wird (siehe Bild)? Weil ich habe das ja "komplett" anders gelöst...

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In der Musterlösung wurde in kartesischen Koordinaten parametrisiert.

Also x->=(x,y,z) und dann halt für z=x^2+y^2 einsetzen. Die Parameter sind dann x und y. Das ist auch möglich.

Vorteil: Berechnung des Flächenelements ist einfacher.

Nachteil. Um das entstehende Integral am einfachsten zu lösen, geht man auf Polarkoordinaten über (die Grenzen sind noch voneinander abhängig.)

Das hast du mit deiner Parametrisierung schon erledigt.

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also parametrisiert man von kartesisch zu kartesisch? Verrückt. Ich dachte der Sinn des ganzen wäre davon wegzukommen :)

Vielen Dank für die Erklärung!

Answer 2

x²+y²<1 ist das Innere eines Einheitskreises und hat die Fläche π. die 3. Koordinate ist maximal 1. Die Punktmenge im Raum ist dann das Innere einer Rotationsparabel der Höhe 1.