Grenzwert einer Funktion berechnen. lim_(x->2) (x^3 - 8) / (x^2 - 4)

Question

Wie berechnet man bei beiden die Grenzwerte von Funktionen ?

Grenzwert einer Funktion berechnen. lim_(x->2) (x^3 - 8) / (x^2 - 4) 

Comments

EDIT: Bitte achte auf korrekte Begriffe. Grenzwerte von Funktionen sind keine Grenzwertfunktionen. Ich habe die Frage und die Überschrift korrigiert. 

Es schadet auch nicht, wenn du https://www.mathelounge.de/schreibregeln einmal genau anschaust. 

Answer 1

2 kannst du so umformen, dass du den funktionalen Zusammenhang hier https://de.wikipedia.org/wiki/Eulersche_Zahl#Definition ausnutzen kannst. Verallgemeinert https://de.wikipedia.org/wiki/Exponentialfunktion#Definition 

Substituiere x = 1/n und lasse dann n gegen unendlich laufen. 

lim_(x->0+) ^x√(1-2x) =

lim_(x->0+) (1-2x)^{1/x} 

= lim_(n->∞) (1 - 2/n)^n 

= lim_(n->∞) (1 + (- 2)/n)^n 

= e^{-2} 

Answer 2

$$ \lim_{x\to 2}\frac { x^3-8 }{ x^2-4 }\\=\lim_{x\to 2}\frac { (x-2)(x^2+2x+4) }{ (x+2)(x-2)}\\=\lim_{x\to 2}\frac { (x^2+2x+4) }{ (x+2)}=3\\\lim_{x\to 0+}(1-2x)^{1/x}=\lim_{n \to \infty}(1-2/n)^{n}=e^{-2}\\(\text{es wurde }1/n=x\text{ gesetzt}) $$

Comments

Hey Danke setzt man beim zweiten 0 ein , dann kommt , 0 Wurzel 1 raus ?

---

Beim zweiten handelt es sich um eine mögliche Definition der e-Funktion:

https://de.wikipedia.org/wiki/Exponentialfunktion#Definition

0 kann man nicht direkt einsetzen, da 1^∞ nicht definiert ist.

Answer 3

Beim 1. ist richtig   D) 3

(du kannst mit (x-2) kürzen ) 

Answer 4

zu Aufgabe 1)

x^3-8= (x-2)(x^2 +2x+4)

x^2-4= (x-2)(x+2)

---->dann x-2 kürzen und 2 einsetzen

Lösung: 3 

oder mit L' Hospital, wenn erlaubt

Comments

Hey Danke setzt man beim zweiten 0 ein , dann kommt , 0 Wurzel 1 raus ?

---

"oder mit L' Hospital, wenn erlaubt"

Das ist eine Multiple-Choice-Aufgabe...