Was ist der Grenzwert lim_{ x->0} (cos(x)-1)/(sin^2(x))?

Question

Aufgabe:Bilden Sie den

lim

x->0 (cos(x)-1)/(sin^2(x))

Ich käme auf 1/2?

Answer 1

Nicht ganz, es ist \(-\dfrac{1}{2}\), da durch die l'hospitalsche Regel gilt:
$$\lim_{x \to 0} \dfrac{\cos(x)-1}{\sin^2(x)}=\lim_{x \to 0} -\dfrac{1}{2\cos(x)}=-\dfrac{1}{2\cos(0)}=-\dfrac{1}{2}$$

Answer 2

das stimmt leider nicht.

Answer 3

lim

x->0 (cos(x)-1)/(sin^2(x))

=

lim

x->0 (cos(x)-1)/(1-cos^2(x))

=

lim

x->0 (cos(x)-1)/(1-cos(x))(1+cos(x))

=

lim

x->0 (-1)/(1+cos(x))

=

(-1)/(1+cos(0))

= -1/2 
Kontrolle: https://www.wolframalpha.com/input/?i=limes+((cos(x)-1)%2F(sin%5E2(x)))