Kubische Gleichung, Wendepunkt

Question

Ausgangslage kubische Gleichung in Normalform:

x^3+ax^2+bx+c

Wie kann ich nun explizit in allgemeiner Form die x-Koordinaten des Wendepunktes und die x-Koordinaten der Minimal-und Maximalstellen bestimmen?

Brauche dazu die 1.Ableitung?

3x^2+2ax+b

Und die 2.Ableitung?

6x+2a

Comments

Dein Eröffnungsbeitrag enthält keine einzige Gleichung!

Der Begriff "Normalform" bedarf einer Präzisierung!

Es ist sicher auch nicht verkehrt, Anliegen in vollständigen Sätzen zu formulieren.

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Generell sollten Fragesteller ebenso sorgfältig beim Formulieren einer Frage sein, wie sie es auch von den Antwortgebern beim Beantworten einer Frage erwarten.

Answer 1

Hallo IF,

f(x) = x^3 + a·x^2 + b·x + c

f '(x) = 3·x^2 + 2·a·x + b  = 0     ergibt nach Division durch 3 mit der pq-Formel

          die Extremstellen  x₁ = (√(a^2 - 3·b) - a) / 3  ;   x₂ = - (√(a^2 - 3·b) + a) / 3  

f "(x) = 6·x + 2·a = 0     ergibt die Wendestelle  x_w = - a/3

x_w in die Funktionsgleichung eingesetzt ergibt dann  den Wendepunkt:

y_w  = (- a/3)³ + a · (- a/3)² + b · ( - a/3) + c  =  - a³ / 27 + a³ / 9  - a·b / 3 + c

  W( -a/3 | 2·a^3 / 27  -  a·b / 3  +  c ) 

Gruß Wolfgang

Comments

a darf auch 0 sein oder nicht ?

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Du hast natürlich recht, danke für den Hinweis.  Hatte das a "im Geiste" bei x³ angesiedelt (wo es ja meistens auch steht :-)). Werde den kleinen Zusatz "(a≠0) streichen.

Habe der Vollständigkeit halber auch die Extremstellen nachgetragen, weil ich mal wieder nicht zu Ende gelesen hatte. (Wer fragt auch schon in der Überschrift "fett" und in der Frage zuerst nach dem Wendepunkt und danach nach den Extremstellen :-)) 

Answer 2

f(x) = x^3 + a·x^2 + b·x + c

f'(x) = 3·x^2 + 2·a·x + b

f''(x) = 6·x + 2·a

Extremstellen f'(x) = 0

3·x^2 + 2·a·x + b = 0 --> x = (-a ± √(a^2 - 3·b))/3

Wendepunkte f''(x) = 0

6·x + 2·a = 0 --> x = -a/3

f(-a/3) = (2·a^3 - 9·a·b + 27·c)/27 --> WP(-a/3 | (2·a^3 - 9·a·b + 27·c)/27)

Comments

Wenn man so vorgeht wie du, benötigt man (bei Aufgaben dieser Art) die dritte Ableitung zur Bestimmung der Wendestelle eigentlich nicht, denn man kennt sie schon...

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Bei Funktionen 3. Grades sollte man wissen, dass es einen Wendepunkt gibt zu dem der Graph auch noch Punktsymmetrisch ist. Die hinreichende Bedingung über die 3. Ableitung benötigt man auch nicht grundsätzlich. Man könnte auch über das Kriterium des Vorzeichenwechsels gehen. Da hier die 2. Ableitung eine lineare Funktion ist gibt es garantiert eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel und damit einen Wendepunkt.