Rennen mit getunten Bobbycars in einer schwäbischen Kleinstadt

Question

Aufgabe:

In einer schwäbischen Kleinstadt findet jährlich ein Rennen mit getunten Bobbycars statt.

Ein vergleichbarer Verlauf des Rennens kann nährungsweise durch die Funktion f mit f(t)= 0.0003t^4 - 0.024t^3 +0.605t^2 angegeben werden, wobei 0<t<40 die Zeit in Sekunden ist, f(t) die zurückgelegten Meter.

a) Zu welchem Zeitpunkt erreicht das Bobbycar seine Höchstgeschwindigkeit?

b) Berechnen Sie die Durchschnittsgeschwindigkeit in der zweiten Hälfte des Rennens. Geben Sie sie in km/h an.

Muss ich dann bei der Aufgabe a) einfach nur Hochpunkt berechnen?

Comments

bei a habe ich die pq formel angewendet und 4,133 und -8133/2000 rausbekommen habe dann die 4,133 für f'(t) eingesetzt und 2.924 rausbekommen ist es falsch?

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Vom Duplikat:

Titel: Zu welchem Zeitpunkt wird die Höchstgeschwindigkeit erreicht?

Stichworte: ableitung,funktion

Aufgabe:

In einer schäbischen kleinstadt findet jährlich ein Rennen mit getunten Bobbycars statt.

Ein vergleichbarer Verlauf des Rennens kann nährungsweise durch die Funktion f mit f(t)= 0.0003t4 - 0.024t3 +0.605t2  angegeben werden, wobei 0<t<40 die Zeit in Sekunden ist, f(t) die zurückgelegten Meter.

Zu welchem Zeitpunkt wird die Höchstgeschwindigkeit erreicht?

Ich habe angefangen das mit der ersten Ableitung zu berechnen, ist aber falsch, diesmal ist nämlich die notwendige Bedingung f''(t) = 0 was ich nicht so ganz verstehe weil es doch eigentlich so ist, dass die erste Ableitung die Geschwindigkeit angibt, und dann dachte ich es wäre ja logisch wenn man dann quasi den Extrempunkt von ihr berechnet.

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und dann dachte ich es wäre ja logisch wenn man dann quasi den Extrempunkt von ihr berechnet.

Richtig, und das tust du über die Ableitung der Geschwindigkeit, welche die Ableitung vom zurückgelegten Weg \(f(t)\) darstellt.

Damit untersuchst du effektiv die zweite Ableitung.

Answer 1

f(t) = 0.0003·t^4 - 0.024·t^3 + 0.605·t^2

f'(t) = 0.0012·t^3 - 0.072·t^2 + 1.21·t

f''(t) = 0.0036·t^2 - 0.144·t + 1.21

a)

Extremstelle des Graphen von f'(t) (der Geschwindigkeit) f''(t) = 0

0.0036·t^2 - 0.144·t + 1.21 = 0 --> t = 27.99 ∨ t = 12.01

f'(0) = 0

f'(12.01) = 6.23

f'(27.99) = 3.77

f'(40) = 10

Die Höchstgeschwindigkeit erreicht das Bobbycar bei t = 40 s mit einer Geschwindigkeit von 10 m/s

[Korrigiert nach Kommentaren]

b)

m = (f(40) - f(20)) / (40 - 20) = 5.1 m/s = 18.36 km/h

Comments

könnten sie vielleicht erklären wie das bei b so geht ? :)

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Durchschnittsgeschwindigkeit berechnet sich aus

Zurückgelegter Weg durch benötigte Zeit.

f(40) - f(20) ist der Weg den das Bobbycar in der zweiten hälfte zurücklegt. Nämlich gefahrene Meter nach 40 Sekunden minus Gefahrene Meter nach 20 Sekunden.

Das Teilt man durch die Benötigte Zeit. Da von der 20 bis zur 40 Sekunde genau 40 - 20 = 20 Sekunden verstrichen sind teilt man dadurch.

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Zu deiner Lösung kann man ja vieles sagen, daher vielleicht das Wichtigste zuerst :  Sie ist falsch.

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Hast du einen Hinweis. Ich sehe meinen Fehler gerade nicht.

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Hinweis :  Endspurt                                

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f'(40) = 10

Das Randextrama ist größer und damit hat das Bobbycar bei t = 40 s mit 10 m/s die größte Geschwindigkeit.

Aber was bedeutet En...rt ?

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Je nach zugelassenem Hilfsmittel käme für Teil b.) auch 18,37 km/h infrage.

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Alles klar. Danke für den Hinweis. Hatte selber nochmal überlegt und war dann auch selber auf den Fehler ohne den Tipp.

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Eine Frage, ich habe eben an der selben Aufgabe gearbeitet. Warum berechnet man die Extrema von der zweiten Ableitung und nicht von der ersten Ableitung? Ich dachte man macht das bei der Bestimmung von HP und TP immer erst mit der esrten Ableitung und setzt nacher erst die errechneten Nullstellen in die zweite Ableitung ein. Aber hier scheint das wohl anders zu sein, aber warum?!

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Du suchst nicht ein Extrempunkt von f(x) sondern von f'(x). Damit musst du die erste Ableitung von f'(x) gleich Null setzen.

Zeichne dir dazu eventuell mal die Graphen auf und melde dich ruhig nochmals wenn du noch Probleme hast.

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woher kommen am anfang bei a) die 27.99 und 12.01?

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Löse die quadratische Gleichung

0.0036·t^2 - 0.144·t + 1.21 = 0

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Die 27,99 und 12,01

findest du durch p,q Formel

oder quadratische Ergänzung oder durch

https://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/polynome.htm

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gibts eine möglichkeit ohne 2.ableitung ?

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gibts eine möglichkeit ohne 2.ableitung ?

Nein.

Die Funktion f(t) war die momentane zurückgelegte Strecke

Die Funktion f'(t) war die momentane Geschwindigkeit

Will man die Extrempunkte der Geschwindigkeit haben muss ich die Ableitung von f' gleich Null setzen. Also die 2. Ableitung gleich Null setzen.

Das ist der typische Weg wie man solche Aufgaben löst.

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Wieso rechnet man im nächsten Schritt mit der Ersten Ableitung?

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Wieso rechnet man im nächsten Schritt mit der Ersten Ableitung?

Wenn f(t) die Anzahl der Zurückgelegten Meter sind dann ist f'(t) die Änderungsrate des zurückgelegten Wegen also die Geschwindigkeit. Wenn die Geschwindigkeit maximal sein soll, muss man die Ableitung der Geschwindigkeit gleich 0 setzen.

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Hier mal die Funktionen im Koordinatensystem

Achtung: v(t) und a(t) sind dabei um den Faktor 10 Gestreckt worden.

Answer 2

Die Funktion beschreibt wie weit das Bobbycar nach t Sekunden gefahren ist.

Dann gibt die 1. Ableitung die Geschwindigkeit an.

Für das Max. der Geschwindigkeit brauchst du ja die

Ableitung der Geschwindigkeitsfunktion und das

ist die 2. Ableitung von f.

Answer 3

Der Geschwindigkeitsverlauf sieht so aus (Blaue Kurve). Die rote Kurve ist der Streckenverlauf. Man sieht, das die Geschwindigkeit am Ende am größten ist.

Answer 4

dass die erste Ableitung die Geschwindigkeit
angibt f ´ ( t ) , und dann dachte ich es wäre ja
logisch wenn man dann quasi den Extrempunkt
von ihr berechnet.

Richtig.

Am Extrempunkt ( der Geschwindigkeit ) ist die weitere Ableitung = Steigung null.
Stell dir einen irgeneinen Extrempunkt einer Funktion vor vor dort ist die Steigung null.
Also f ´´ ( t ) = 0

Berechnet
t = 12.01  sec
und
t = 27.99 sec

Die Geschwindigkeiten am Extrempunkt sind
f ´( 12.01 ) = 6.23 m/s
und
f ´( 27.99 ) = 3.77 m/s

Randmaximum / Randminimum
Jetzt gilt es aber noch die Geschwindigkeiten an
den Rändern ( Start und Ziel ) zu überprüfen
f ´( 0 ) = 0 m/s
und
f ´( 40 ) = 10 m/s

Die Höchstgeschwindigkeit ist 10 m/s und wird bei
t = 40 sec erreicht.

6.23 m/s und 3.77 m/s sind relaltive Maxi- bzw. Minima.