Hühnerdieb. Wie muss man hier vor gehen?

Question

Auf der Flucht vor dem wütenden Bauern springt ein Hühnerdieb in ein Boot und rudert auf einen kreisrunden See hinaus. Der Bauer kann doppelt so schnell rennen wie der Dieb rudern kann. An Land ist der Dieb schneller als der Bauer. Kann er dem Verfolger entwischen?

Answer 1

Der Dieb muss nur den Radius des Sees rudern, in unserem Fall hypothetisch 100m.

Der Bauer muss dabei jeweils maximal den Halben Umfang rennen, welches sich aus der einfachen Kreisberechnung ergibt: 1/2 * 2 π * r = 100m * π ≈ 314,16m. Da der Bauer jedoch doppelt so schnell rennt wie der Dieb rudert, muss die entsprechende Distanz noch halbiert werden: 157,08m. Wie man sieht, gelingt es dem Bauern nicht, den Dieb zu fangen, wenn er auf die gegenüberliegende Seite hinrudert.

Will man es noch weiter treiben, kann man auch den Mindestwinkel zwischen Bauer und Anlegestelle berechnen. Dazu nimmt man einen Kreis mit Radius r=100m und einen Boden mit Länge b=200m (der Bauer rennt doppelt so weit wie der Dieb). Trigonometrisch kommt man damit auf einen Winkel von r/b = 2 Rad, was ungefähr 114.6° entspricht. Ist der Winkel nun grösser, so kann der Dieb vom Bauern nicht gefasst werden.

Ich hoffe, diese Antwort hilft, ansonsten einfach kurz melden ;-)

Simon

Answer 2

Setzen wir mal voraus, dass sich der Hühnerdieb mit seinem Ruderboot einfach in die Mitte des Sees begibt und der Bauer am Ufer entlang rennt. Strecken und Geschwindigkeiten sind dabei unerheblich.

Hält der Hühnerdieb in dieser Situation nun auf die dem Bauern gegenüberliegende Uferstelle zu, um den See wieder zu verlassen, so muss er noch die Strecke r rudern. Während dessen kann der Bauer die Strecke 2r rennen, müsste aber den Weg pi*r zurücklegen, um den Dieb zu erwischen. Der Dieb hat also, wieder an Land, einen Vorsprung von (pi-2)*r.

Könnte er seinen Vorsprung noch verbessern, wenn er ständig in senkrechter Richtung von der aktuellen Position des Bauern wegrudert?