Fehler bei Grenzwert bestimmen

Question

Bei dieser aufgabe muss ich den grenzwert bestimmen.. laut musterlösung soll -2 rauskommen. Was habe ich in der Rechnung falsch gemacht ? :/ ( Aufgabe ist umkringelt )

lg

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Bitte in Bild in mehrere einzelne grössere und scharfe Bilder aufteilen. Das ist so kaum lesbar.

Was steht denn unter dem limes ? Wofür 2 Zeilen?

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für lim x->1  x=! 1

ich hoffe so ist es besser erkennbar

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Du gehst in deiner Rechnung offenbar davon aus, dass der Limes von 1/x für x gegen 1 0 ist. Das ist keineswegs so und deine Rechnung ist daher falsch!

Answer 1

Was steht denn unter dem limes ? Wofür 2 Zeilen?

" Was habe ich in der Rechnung falsch gemacht ? "

Das einzige, was ich erkennen kann und sicher falsch ist: 0/0 ≠ 0 .

Grund 0/0 ist nicht definiert.

0/0 ist allenfalls ein Indiz dafür, dass man Hospital anwenden könnte. 

Solange noch ein x vorhanden ist (der Grenzübergang noch nicht gemacht wurde), gehört nach jedem Gleichheitszeichen immer noch das lim_(....) wiederholt. 

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unterm limes steht x->1

weil x gegen 1 geht war ich nicht sicher ob der limes vom bruch der oberen gegen 0 geht oder nicht..deswegen hab ich unten in der zeile einfach mal für 1 geschaut ob da evt. -2 rauskommen koennte aber das war eher eine rechnung für mich. 
Es geht in erster linie um die erste zeile. mit dem ergebnis 0/1 = 0

da ich grade einfach einpaar aufgaben für mich alleine rechne habe ich den limes aus faulheit weggelassen. Ich denke auch ohne ist klar worum es in der aufgabe geht.

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 Ich denke auch ohne ist klar worum es in der aufgabe geht.Es wird üblicherweise als Fehler in der Schreibweise angerechnet, wenn der lim nicht steht, wo er stehen soll. Denke daran, dass deine Frage auch von andern gelesen wird, die sich vielleicht in 2 Jahren auf eine Prüfung vorbereiten oder bei Übungen eine Vorlage suchen und schreibe so, wie du es wirklich den andern zeigen möchtest.

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 Wenn du links noch nirgends lim hingeschrieben hättest, ist die Umformung des Bruches ok. Aber das GLEICH vor 0/1 ist zu ersetzen mit einem (langen) Pfeil. Darüber schreibst du x->1. 

Zum Grenzübergang:

Hier hast du oben 1/1 - 3/1 + 2/1 = 0.

und unten hast du 1 - 4/1 + 3/1 = 0 . D.h. keine Aussage möglich.

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Betrachte nochmals den gegebenen Bruchterm:

Ohne etwas zu machen hättest du oben 1 - 3 + 2 = 0 und unten 1 - 4 + 3 = 0.

D.h. x=1 ist eine Nullstelle des Zählers und eine Nullstelle des Nenners. Folglich kannst du oben und unten ohne Rest durch (x-1) dividieren. (Polynomdivision oder (x-1) ausklammern). Nutze diese Tatsache, denn du kannst mit (x-1) kürzen.

Answer 2

Wenn dir L´Hospital bekannt ist geht es
einfacher.

Bei Einsetzung von x = 1 ergibt sich 0 / 0.
Dann die getrennte Ableitung von Zähler
und Nenner durchführen.
Bei Einsetzung von x = 1 ergibt sich -2

Answer 3

mithilfe einer Polynomdivision erhält man

$$ \frac { x^4-3x^2+2 }{ x^5-4x+3 }=\frac { (x-1)(x^3+x^2-2x-2)}{ (x-1)( x^4+x^3+x^2+x-3)} \\=\frac { ( x^3+x^2-2x-2) }{ ( x^4+x^3+x^2+x-3)} \\$$

Nun kann x=1 bedenkenlos eingesetzt werden.

Answer 4

Nun mal zur eigentlichen Frage:

"Was habe ich in der Rechnung falsch gemacht?"

Falsch ist hier die durch das Hellgrüne angedeutete Grenzwertbildung:

Das geht nur bei

$$ \lim_{x\to+\infty} \text{ oder } \lim_{x\to-\infty}. $$Im vorliegenden Beispiel geht es also nicht.