Ableitung von f(x)= ax^2+c

Question

wie kann ich die Funktion a*x^2+c ableiten mit der ersten Ableitung? Ich hab das ohne dem +c verstanden aber wie geht es mit dem +c? Kann mir jemand vielleicht schritt für schritt helfen mit einer Erklärung, sodass ich diese für meine Notizen habe.

EDIT: Nachtrag im Kommentar: Wie geht es mit x-->x0? Die h-Methode haben wir leider nicht behandelt, weshalb sie mich verwirrt.

Answer 1

f(x) = ax^2 + c

f'(x) = 2ax

Comments

Mit der h-Methode

f(x) = ax^2 + c

Ableitung

f'(x) = lim (h --> 0) (f(x + h) - f(x)) / h

f'(x) = lim (h --> 0) ((a(x + h)^2 + c) - (ax^2 + c)) / h

f'(x) = lim (h --> 0) ((a(x^2 + 2xh + h^2) + c) - (ax^2 + c)) / h

f'(x) = lim (h --> 0) ((ax^2 + 2axh + ah^2 + c) - (ax^2 + c)) / h

f'(x) = lim (h --> 0) (ax^2 + 2axh + ah^2 + c - ax^2 - c) / h

f'(x) = lim (h --> 0) (2axh + ah^2) / h

f'(x) = lim (h --> 0) (2ax + ah)

f'(x) = 2ax

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Wie geht es mit x-->x0? Die h-Methode haben wir leider nicht behandelt, weshalb sie mich verwirrt. Können Sie das, falls möglich, erneut mit x-->x0 erklären? Den Limes braucht man doch erst nur im vorletzten Schritt?

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f(x) = ax^2 + c

m = (f(x) - f(x0)) / (x - x0)

m = ((ax^2 + c) - (ax0^2 + c)) / (x - x0)

m = (ax^2 + c - ax0^2 - c) / (x - x0)

Über Polynomdivision bekommt man dann

m = (ax^2 - ax0^2) / (x - x0) = ax + ax0

Für x --> x0

m = ax0 + ax0 = 2ax0

Answer 2

die Ableitung einer konstanten Funktion ist 0. Mit der Def. der Ableitung ergibt sich das auch:
$$ f(x)=c\\f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac { f(x+h)-f(x) }{ h }=\lim_{h\to 0}\frac { c-c }{ h }=\lim_{h\to 0}0=0 $$