Interpolation - Funktion 3. Grades anhand einer Skizze bestimmen, Gleichungssystem ultralange!

Question

Problem
Ich kann die Lösung nicht überprüfen da die skalierung der Achsen unterschiedlich gewählt wird und im Buch ist die Aufgabe anders gelöst worden - also ohne interpolation und mir kommt der Lösungsweg echt komisch vor.

Aufgabe

Wie lautet die Gleichung der skizzierten Funktion 3. Grades. 

Das Bild


Meine Lösung + Idee

Klar zu erkennen sind folgende:

I. f(-3) = 0
II. f(0) = 36
III. f(3) = -72

Nicht ganz klar sind folgende (ich weiss nicht ob sie tatsächlich stimmen)

IV. f'(-3) = 0
V. f''(-3) = 0 

Der Lösungsweg ist ultralange und ich erhalte folgendes: f(x)=-2x^{3} -8x^{2} + 6x + 36

Also für a = -2 ; b = -8 ; c = 6 ; d = 36


Lösungsweg

Comments

Du hast nur 4 Unbekannte, aber 5 Gleichungen. Das ist eine zuviel.

Die 5. (Wendepunkt) sehe ich nicht. Bei -3 liegt nur ein Minimum vor.

Answer 1

Die ablesbaren  4 Aussagen sind
f (-3) = 0
f ( 0 ) = 36
f ( 3 ) = -72
f ' (-3) = 0

f = -2*x^3 - 8*x^2 + 6*x + 36

Bei Bedarf wieder melden.

Wie kommst du auf f ´´ ( -3 ) = 0.
Dies wäre ein Wendepunkt.
Bei Wendepunkten ist keine Krümmung
vorhanden.
An der Stelle x = -3 ist eine Krümmung
vorhanden.

Comments

georgeborn, vielen dank !

1. Frage
Ich dachte, dass (und jetzt brauche ich - weil ich das trainieren wil - die intervallschreibweise) von (-∞,-3) der Graph von f(x) eine negative Steigung hat. 

Und ab dem Intervall (-3,∞)der Graph wieder steigt, wobei bei f'(-3)=0.

Deswegen ging ich von einem Wendepunkt aus. 

Wahrscheinlich ist meine Überlegung falsch, denn wenn ich "mit einem Auto die Kurve nachfahre, mache ich bei x=-3 immernoch diese Linkskurve welche vermutlich irgendwo bei x = -1,5 (geschätzt) in eine Rechtskurve übergeht. 

2. Frage

Generell bei Interpolationen, habe ich eine bestimmte Anzahl an unbekannten, hier jetzt a, b, c, d. Also 4 Unbekannte. Brauche ich da 4 Gleichungen generell oder 4 Gleichungen die auch vier Unbekannte beinhalten?

In meiner Aufgabe oben habe ich gesehen dass f'(-3) nur a b c enthält. Deswegen suchte ich noch nach einer weiteren Information bzw. Gleichung. 

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1.Frage
Deine Einschätzungen sind richtig.

Geht gleich weiter.

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2.Frage
Aussagen
f ( x ) = a * x^3 + b * x^2 + c*x + d
f ´( x ) =3 * a * x^2 + 2 * b * x + c

f (-3) = 0
f ( 0 ) = 36
f ( 3 ) = -72
f ' (-3) = 0

Nach Einsetzung erhälts du

-27a + 9b - 3c + d = 0
d = 36
27a + 9b + 3c + d = -72
27a - 6b + c = 0

Dies sind 4 Gleichung mit a,b,c,d.
Das Ganze nennt man ein lineares
Gleichungssystem das es zu lösen gilt.
Interpolation ist der falsche Begriff.

a =-2
b = - 8
c = 6
d = 36

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Bitteschön .