Eine Kugel mit dem Radius 10mm erhält eine Bohrung ....

Question

..... Welche Bohrstärke muss gewählt werden,damit die Mantelfläche des Bohrlochs maximal wird?

1.) M=2*PI*r*h

und jetzt weiß ich nicht wie ich die Nebenbedingung von h machen soll, freue mich schon auf Rückmeldung.

MFG

Comments

Anstatt einfach eine Formel hinzuknallen, solltest Du mit einer Skizze anfangen, in der alle Groessen eingezeichnet sind, und der man auch entnehmen kann, wie das Koordinatensystem liegen soll.

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okay die sehe wie folgt aus?

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Kannst du denn überhaupt schon ableiten? Oder: Welche Funktionen habt ihr schon behandelt? Vielelicht auch: In welcher Klasse sollt ihr das lösen?

Statt der Mantelfläche kannst du auch das Quadrat der Mantelfläche maximieren und dann nötigenfalls noch geometrisch unrealistische Lösungen wieder streichen.

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ich bin in der q1 na klar kann ich ableiten aber mit qubischen oder quadratischen Funktionen aber ich rafe nicht wie ich(siehe unten) den part mit der wurzel ableiten soll, da ich sowas nochnie gemacht habe mit PI etc. . Mir kann da auch niemand weiterhelfen

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Dann schlage einmal ein Mathebuch auf.
Dann kommt diese Aufgabe für deinen
Wissensstand noch zu früh.

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sag mal hörst du mir nicht ganz zu? ich habe noch nie die Produktregel kennengelernt, deshalb habe ich auch vorher gefragt ob man den radikanten nicht einfach nehmen könne, aber du hast mich igonoriert und wolltest stur deinen weg zeigen. Ist ja alles schön und gut aber es hilft nicht du kannst einen Fahrschüler auch nicht Auto fahren lassen ohne dass er die Regeln kennt.

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Deshalb sollst du die Regeln zuerst erlernen.

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ist das deine art zu helfen? darf ich also erst wieder fragen stellen wenn ich diese 20 regeln da kann,
 versuch mir doch eine anderen weg für die ableitung zu erklären außer dieser Produktregel da.

Ich wäre dir auch sehr dankbar!

Answer 1

Nun - die Skizze könnte so aussehen:

und dann sieht man dort ein rechtwinkliges Dreieck und nach Pythagoras ergibt sich die Nebenbedingung:

$$\frac{h^2}{4} + r^2 - R^2 = 0$$

Zusammen mit der zu maximierenden Mantelfläche

$$M(h,r) = 2\pi r h$$

ist dann das Resultat $$r_{opt}=\frac{1}{2}\sqrt{2}R \approx 7,07 \text{mm}$$ wobei die 'Bohrstärke' im Allgemeinen mit \(2r\) angegeben wird. Falls irgendwas nicht klar ist, so frage bitte nach.

Comments

Danke erstmal, die Skizze ist echt anschaulich. Im Prinzip hast du den Ball "durchgeschnitten" und in 2D vorgezeigt. Wir suchen also r bzw. r sollte möglichst groß sein. Dannach hast du die N.B zur höhe gamcht anhand des Satz des Pythagoras und hast das dann schließlich in die Zielfunktion hineingesetzt. Bis jetzt alles klar verständlich.

Hast du nun nach r aufgelösst? bzw. hast du dannach überhaupt die extrema HP bestimmt.

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ich verstehe außerdem nicht ganz warum du beim Satz des pythagoras den Satz des Nullprodukt gemacht hast? ich dachte ich mach die N.B nach H wurzel aus also r²+(h/2)²=100 bzw. wurzel aus -400+4r² =h und dass ich dann 2*PI*r wurzel aus -400+4r² hab.. HILFE :D

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Hallo MatheLauch,

Ja - ich hatte das Optimum berechnen; steht ja da: \(r_{opt}=\frac{1}{2}\sqrt{2}R\). Berechnet hatte ich das mit dem Lagrange-Multiplikator. Falls Du das nicht in der Schule gelernt haben solltest, so vergiss es gleich wieder. Der Vorteil liegt hier darin, dass ich weder quadrieren noch Wurzelausdrücke ableiten muss. Und ansonsten halte Dich an die Antwort von Lu.

Du hattest in Deiner Frage nur nach der Nebenbedingung gefragt, ich ging daher davon aus, dass Du anschließend weißt wie es weiter geht.

Wo Du hier den 'Satz vom Nullprodukt' siehst ist mir schleierhaft!?

Ja - Du kannst die Nebenbedingung nach \(h\) auflösen \(h=2\sqrt{R^2-r^2}\) und in die Hauptbedingung einsetzen \(M(r)=4\pi r\sqrt{R^2-r^2} \).

Gruß Werner

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ja am anfang habe ich einiges durcheinander geworfen... hat sich aber erledigt

Answer 2

ok. ich mache mal weiter mit dem, was ich dir oben vorgeschlagen habe. 

Offenbar hast du 

m( x ) = 4π * x * √ ( 100 - x² ) 

geprüft und verstanden. 

Du weisst aufgrund der Geometrie 0 < x < 10 . Weder bei x = 0 noch bei x=10 hat die Fläche ein Maximum. 

Nun betrachten wir das Quadrat der Mantelfläche:

m² ( x ) = (4π)² * x² *  ( 100 - x² ) 

Den konstanten Faktor (4π)² kann man auch noch weglassen.

f(x) = x² (100 - x²) wird nun maximiert.

f(x) = 100x² - x⁴ 

f ' (x) = 200x - 4x³ 

= 4x ( 50 - x²) | Nullstellen:

x1 =0, x2 = √(50) , x3 = -√(50) 

Nur x2 ist geometrisch relevant.

x2 = √(50) = 5*√(2) ist der Radius für den die Mantelfläche maximal ist. 

Einheiten nicht vergessen und dann mit der Skizze von Werner weitermachen. 

Comments

warum kann man (4PI)²   weglassen?

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(4π)² > 0.

Wenn f(x) mit einer positiven Konstanten multipliziert wird, wird der Graph von f nur gestreckt oder gestaucht in y-Richtung. Der x-Wert der relativen Extrempunkte ändert sich nicht.

Bei deinem Beispiel passen die Graphen nicht ganz auf das Blatt. Du kannst zoomen.

~plot~ 100x^2 - x^4; [[-0.5|12|-1|50000]];x=7,07 ;(4π)^2 * (100x^2 - x^4 ) ~plot~

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WOW danke retter in der not, ich saß hier 1 stunde an der aufgabe und befand mich die ganze Zeit auf dem holzweg, ich danke dir viel mals eigentlich hast du gerade die "beste antwort" verdient. Denn ich erinnere mich, dass beim quadrieren das monotomieverhalten gleich bleibt also HP und TP nur die Y-Werte ändern sich. Und nun BAMMM! danke vielmals

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du bist echt gut! Danke, endlich jemand der simple erklären kann ohne irgendein rumgeschwafel. leider gibt es zu wenig von diesen Typ mensch.

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Bitte. Gern geschehen!

"Denn ich erinnere mich, dass beim quadrieren das monotonieverhalten gleich bleibt also HP und TP nur die Y-Werte ändern sich.  " 

Geometrisch ist das korrekt, wenn negative y-Werte ausgeschlossen sind. Du kannst beim Quadrieren aber weitere Lösungen importieren, die zu Beginn nicht da sind. Hier einfach aufpassen! 

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genau negative y und x werte sollte man nicht betrachten, man vielen Dank!

Answer 3

Hier meine Skizze

10² = x² + y²
y = √ ( 100 - x² )
Umfang am Bohrloch
u ( x ) = 2 * y * π
u ( x ) = 2 * √ ( 100 - x² ) * π
Mantelfläche
m ( x ) = u * 2 * x
m ( x ) = 2 * √ ( 100 - x² ) * π * 2 * x
m ( x ) = 4π * x * √ ( 100 - x² )
m ´( x ) =  4π*(  √ ( 100 - x² )  + x * ( - 2 * x ) / ( 2 *√ ( 100 - x² )
√ ( 100 - x² )  + x * ( - 2*x ) / ( 2 *√( 100 - x²)) = 0
x = 7.07
y = 7.07

r = 7.07 mm

Comments

sehr gut anschaulich nur ich verstehe eins nicht, den Part ab der Ableitung da ist eine ganzes "Getümmel" von Zahlen...

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Die Ableitung vom m ( x ) ist nun einmal
das Getümmel bei m ´( x ). Grins.
Ich hab dann ein Matheprogramm rechnen
lassen.

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wie mache ich den jetzt die ableitung von M(x) ? das ist das was ich nicht verstehe.

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Tipp: wenn die Mantelfläche maximiert wird, so ist auch das Quadrat der Mantelfläche maximal. Dann geht das Ableiten und der Rest ganz einfach.

x=√50

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nach der Produktregel

( x * √ term ) ´ =
1 * √ term + x * ( term ) ´ / ( 2 * √ term )

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ach ja die problematik hatten wir gestern glaube ich auch, kann ich nicht einfach den Radikanen nehmen?

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√ ( 100 - x² )  + x * ( - 2*x ) / ( 2 *√( 100 - x²)) = 0
√ ( 100 - x² )  = - x * ( - 2*x ) / ( 2 *√( 100 - x²))
mit  √( 100 - x²) malnehmen

100 - x² = - x * ( - 2*x ) / 2
100 - x² = x²
2 * x² = 100
x = √ 50

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kann ich die Ableitung auch ohne Produktregel machen, weil ich die bis jetzt nie benutzt habe und ich das ungewohnt bin.

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ich verstehe es nicht ich bin am verzweifeln... mathe kann so mies sein

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Die grundsätzlichen Ableitungsregeln
muß jeder Mathematiker kennen

Konstantenregel
Potenzregel
Produktregel
Quotientenregel
Kettenregel

Ableitung Logarithmus
Ableitung Wurzel

Vor dir liegt noch ein weites Land.
Hab ein bißchen Geduld.
Auch nicht mit dem Kopf durch die Wand wollen.

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Ich kann mich nur wiederholen.
Du mußt zunächst die elementaren
Ableitungsregeln erlernen.
Diese sind sicher in deinem Mathebuch
in einem Kapitel aufgeführt.
Anders geht es nicht.

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danke, hat aber  gerade wenig mit der Problematik zu tuen.

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m ( x ) = 4π * x * √ ( 100 - x² )
geht auch so

m( x ) = 4π * √ [ x² * ( 100 - x² )]
m( x ) = 4π * √ ( 100 * x² - x⁴ )

jetzt ist nur noch eine Wurzel vorhanden
und es braucht nur der Radikand abgeleitet zu
werden für den Extremwert
( 100 * x² - x⁴ ) ´ = 0
( wie gehabt )

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Bravo, danke, dass war das was ich vor 2 stunden mit dem Radikanten meinte ich habs jetzt durch quadrieren gelöst, weil das monotomieverhalten dadurch nicht beeinflusst wird und ich somit die lästige Wurzel los werde. Und ja ich bin gerne offen für "Kritik" , ich werde in Zukunft meine math. Regelsammlung vervollständigen.

MFG dir einen schönen abend :)

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"...ich bin gerne offen für "Kritik", ich werde in Zukunft meine math. Regelsammlung vervollständigen."

Sehr gut! Statt "Radikant" muss es zum Beispiel "Radikand" heißen!

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Hallo MatheLauch,

um meine Erfahrungen mit dir in den letzten
beiden Aufgaben auf einen Punkt zu
bringen :

- die Möglichkeit bei der Ableitung 1 ( einer ) Wurzel,
falls nur Extrempunkte gesucht werden, nur den
Radikanden abzuleiten kommt maximal in
1 % aller Differentialaufgaben vor.

- Die Möglichkeit kann schon bei mehrern
Wurzeln, zusammengesetzen Funktionen
oder falls auch die 2.Ableitung benötigt
wird nicht mehr angewendet werden.

Ansonsten gilt
Du mußt zunächst die elementaren
Ableitungsregeln erlernen.
Diese sind sicher in deinem Mathebuch
in einem Kapitel aufgeführt oder du wartest
bis diese im Unterricht besprochen werden
oder du informierst dich über youtube
( Lernvideos ) vorab darüber.
Längere.zusammengesetzten Funktionen
werden auch über diese Elementaregeln
abgeleitet.

Die " höhere Mathematik " ( Gymnasium )
besteht nicht nur aus Differentialrechnung
sondern auch aus Integralrechnung, Vektor-
rechnung usw.
Vor dir liegt ein weites Feld.
Gib dir auch etwas Zeit.

mfg Georg

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Dank, aber du brauchst mir nicht ständig Angst zu machen mit dem "langem Weg" den ich noch vor mir habe. Ich weiß das, da ich mich auch nicht als Mathematiker, sondern als Schüler bezeichnen. Außerdem werde ich mir dieses Wissen lieber mithilfe des Internets aneignen, da ich die Bücher veraltet finde und mit diesen bereits eher negative Ehrfahrungen machen durfte.

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Richtig so.
Gehe deinen eigenen Weg.
Falls du weitere Fragen hast dann wieder
hier im Forum einstellen.

mfg Georg

Answer 4

@ Mathelauch:

versuch mal k( x ) = 16π² * x² *  ( 100 - x² )=1600*π² * x² -16π² *x⁴ abzuleiten, dass sollte einfacher gehen.

Setze die Ableitung dann 0.

Comments

du hast die funktion quadriert nicht wahr? Sodass die Wurzel weggegangen ist, gut ich versuche es mal.

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Ja.

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Das was ursprünglich die Wurzel war nicht quadrieren? (100-x²)

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Die wurzel ist durch das quadrieren weggefallen.

√(100-x²) ² =(100-x²)