Hypergeometrische Verteilung: 50 Prüfungsaufgaben von denen tatsächlich 5 dran kommen.

Question

Ich lerne grade im Internet für meine bevorstehnde Matheklausur zum Thema Stochastik, da bin ich auf die folgende Aufgabe gestoßen:

Ein Dozent gibt für die nächste Klausur einen Fragenkatalog von 50 Fragen heraus, von denen fünf tatsächlich in der Klausur gestellt werden. Die Klausur ist bestanden, wenn mindestens vier Fragen richtig beantwortet werden. Der sorglose Kandidat A bereitet sich auf die Hälfte der Fragen vor. Der durchschnittliche Kandidat B geht davon aus, dass es reicht, sich auf vierzig der fünfzig Fragen (40/50 = 4/5) vorzubereiten. Der perfektionistische Kandidat C ist in großer Sorge, weil er sich wegen einer Krankheit nur auf 45 Fragen vorbereiten konnte. Mit welcher Wahrscheinlichkeit bestehen die Kandidaten die Prüfung?

Die Lösung der Aufgabe liegt zwar vor, aber leider ohne Rechenweg :/ Kann mir viellecht jemand erklären, wie man das rechnet oder mir einen Denkanstoß geben ? Wäre echt toal super, weil ich echt schon an der Aufgabe verzweifel, weil meine Lösungsansätze nie das richtige Ergebnis liefern.

Answer 1

Ich würde das mit der hypergeometrischen Verteilung rechnen.

Ein Dozent gibt für die nächste Klausur einen Fragenkatalog von 50 Fragen heraus, von denen fünf tatsächlich in der Klausur gestellt werden. Die Klausur ist bestanden, wenn mindestens vier Fragen richtig beantwortet werden.

Der sorglose Kandidat A bereitet sich auf die Hälfte der Fragen vor.

((25 über 4) * (25 über 1) + (25 über 5) * (25 über 0)) / (50 über 5) = 17.43%

Der durchschnittliche Kandidat B geht davon aus, dass es reicht, sich auf vierzig der fünfzig Fragen (40/50 = 4/5) vorzubereiten.

((40 über 4) * (10 über 1) + (40 über 5) * (10 über 0)) / (50 über 5) = 74.19%

Der perfektionistische Kandidat C ist in großer Sorge, weil er sich wegen einer Krankheit nur auf 45 Fragen vorbereiten konnte.

((45 über 4) * (5 über 1) + (45 über 5) * (5 über 0)) / (50 über 5) = 92.82%

Comments

Frage zu dieser Aufgabe, in der Fersch Formelsammlung (S.168) steht dazu die Formel:

$$ P(X=k) = {{\binom{K}{k} \cdot \binom{N-K}{n-k}} \over {\binom{N}{n}}} $$

$$ P(X=k) = {{\binom{25}{4} \cdot \binom{50-25}{5-4}} \over {\binom{50}{5}}}  = 14.9\%$$

was verstehe ich falsch?
Besten Dank, Novski

formel: $ P(X=k) = {{\binom{K}{k} \cdot \binom{N-K}{n-k}} \over {\binom{N}{n}}} $$
Doppeldollar erstellt Latex formel.

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Du berechnest die Wahrscheinlichkeit, dass der Kandidat genau 4 Fragen beantworten kann. Die Klausur gilt aber auch als bestanden wenn er 5 beantworten kann. Das müsste also noch dazu addiert werden.

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Besten Dank! Also in meiner schreibweise so:

$$ P(X=k) = {{{ \binom{K}{k_4} \cdot \binom{N-K}{n-k_4}} + { \binom{K}{k_5} \cdot \binom{N-K}{n-k_5}}} \over {\binom{N}{n}}} $$

$$ P(X=k) = {{{ \binom{25}{4} \cdot \binom{50-25}{5-4}} + { \binom{25}{5} \cdot \binom{50-25}{5-5}}} \over {\binom{50}{5}}} = 17.43\%$$