Bestimmen sie Nullstellen,Hoch-und Tiefpunkte und skizzieren sie den Graphen

Question

Hilfe zur dieser Matheaufgabe: Gegeben ist die Funktionsschar Ft (t=reelle positive Zahl). Bestimmen sie Nullstellen,Hoch-und Tiefpunkte und skizzieren sie den Graphen für t=1 t=2 t=3 Funktion: Ft(x)=x^2-2tx+t^2 und Ft(x)=tx^3-x Was muss ich tun?

danke falls mir jemand bei so einer schweren aufgabe helfen kann

Answer 1

Du musst wie gewohnt die entsprechende Kurvendiskussion durchführen und dabei den Parameter t als Konstante betrachten. Das führt dazu, dass die Null- und die Extremstellen nicht (unbedingt), wie gewohnt, Konstante sind, sondern vom Wert des Parameters t abhängen (können). Ist ja auch logisch: Eine Funktionenschar liefert eine Graphenschar und die wiederum hat ggf. eine Schar von Nullstellen und Extremstellen. Diese werden durch die Werte des Parameters t unterschieden.

Ich mach's dir mal für die Funktion Ft ( x ) = t x ³ - x vor:

Nullstellen:

F_t ( x ) = 0

<=> t x ³ - x  = 0

<=> x ( t x ² - 1 ) = 0

<=> x = 0 ODER ( t x ² - 1 ) = 0

<=> x = 0  ODER t x ² = 1

<=> x = 0 ODER x ² =1 / t

<=> x = 0 ODER x = +/- √ ( 1 / t )

Alle Funktionen der Schar F_t haben also unabhängig vom Wert des Parameters t bei x = 0 eine Nullstelle, ihre Graphen laufen also alle durch den Ursprung. Zudem hat jede der Funktionen der Schar in Abhängigkeit vom Wert des Parameters t noch jeweils bei +/- √ (1 / t ) eine Nullstelle.

Die Funktion F₂ ( x ) etwa hat Nullstellen bei x = 0 sowie bei x = - √ ( 1 / 2 ) und x = √ ( 1 / 2 )

Extremstellen:

liegen höchstens dort vor, wo die erste Ableitung von F_t gleich Null ist, also:

F_t ' ( x )  = 3 t x ² - 1 = 0

<=> 3 t x ² = 1

<=> x ² = 1 / ( 3 t )

<=> x = +/- √ ( 1 / ( 3 t )  )

An diesen Stellen liegen Maxima (Minima) vor, wenn die zweite Ableitung von F _t an diesen Stellen kleiner (größer) als Null ist, also:

F_t ' ' ( x ) = 6 t x

F _t ' ' ( - √ ( 1 / ( 3 t ) ) ) = 6 t ( - √ ( 1 / ( 3 t  ) )  

ist für alle positiven t ( nur solche sollen ja betrachtet werden) kleiner Null, hier liegen also Maxima von F_t  vor, während

F_t ' ' ( √ ( 1 / ( 3 t ) ) ) = 6 t √ ( 1 / ( 3 t ) )

für alle positiven t größer als Null ist, sodass an diesen Stellen Minima von F_t vorliegen.

F₂ ( x ) etwa hat bei x = - √ ( 1 / ( 3 * 2 ) ) = - 0,41 ein Maximum und bei x = 0,41 ein Minimum.

Im folgenden Schaubild kannst du dir die Funktionen F₁, F₂ und F₃ der Schar F_t  anschauen und die Nullstellen und Extremstellen mit den obigen Ergebnissen vergleichen, so gut es geht:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=1x%5E3-x%2C2x%5E3-x+%2C3x%5E3-x+from-1to1

 

Auf die gleiche Weise gehst du bei der anderen Funktionenschar vor - das schaffst du nun alleine!