Schnittpunkt Dreier Graden Berechnen in 3D?

Question

ich habe drei Punkte im Dreidimensionalen Raum:     
A: 0/0/0    
B: 5/0/0     
C: 1,21/0/5,84     
Ich suche nun Punkt D, welcher 3,97-Längeneinheiten von Punkt B, 4,52-LE von Punkt C und 5,24-LE von Punkt A Entfernt ist.       
Ich gehe davon aus, dass diese Aufgabe Zwei Lösungen hat, ich weiß aber nicht, wie ich auf diese komme.    
Außerdem würde mich noch interessieren, wie man vorgehen muss, wenn 4 Punkte (A,B,C,D) gegeben sind...

Comments

EDIT: Ich habe in deiner Fragestellung ein paar Zeilenumbrüche und Leerschläge eingebaut, da die Zeilenumbrüche aus deinem Editor nicht übernommen wurden. Hoffe, die sind einigermassen am richtigen Ort.

Sollte das wieder einmal passieren, hast du Bearbeitungszeit. Manchmal hilft es, wenn du zwei Leerschläge und zwei Zeilenumbrüche einfügst, wo du einen Zeilenumbruch haben wolltest.

Du kannst auch das weisse Feld über dem Editor aktivieren und direkt in den HTML-Code eingreifen, wenn du dich dort auskennst.

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Ich gehe davon aus, dass diese Aufgabe Zwei Lösungen hat, ich weiß aber nicht, wie ich auf diese komme.    

Richtig. Bildlich musst du drei Kugeloberflächen miteinander schneiden. 

Wenn du 2 miteinander schneidest hast du vielleicht ein UFO, eine fliegende Untertasse oder einen Frisbee. Es interessiert jedoch nur die Naht (ein Kreis). Nun wird dieser Kreis mit einer Kugeloberfläche geschnitten. Das gibt (maximal) 2 Punkte. 

Rechenweg:

3 Kugelgleichungen aufstellen. 

Sie enthalten 3 Unbekannte. 

Nun geschickt kombinieren.

Answer 1

Hallo Mokelol! :-)

Ein Lösungsvorschlag:

a: Vektor von A nach D
a = D-A = (x/y/z) - (0/0/0) = (x/y/z)

b: Vektor von B nach D
b = D-B = (x/y/z) - (5/0/0) = (x-5/y/z)

c: Vektor von C nach D
c = D-C = (x/y/z) - (5/0/0) = (x-1,21/y/z-5,84)

Der Betrag eines Vektors v mit seinen Koordinaten x, y, z ist |v| = √(x^2 + y^2 + z^2).

Die Beträge der Vektoren a, b, c sind bekannt. Nämlich
|a| = |(x/y/z)| = √(x^2 + y^2 + z^2) = 5,24
|b| = |(x-5/y/z)| = √((x-5)^2 + y^2 + z^2) = 3,97
|c| = |(x-1,21/y/z-5,84)| = √((x-1,21)^2 + y^2 + (z-5,84)^2) = 4,52

Daraus bekommen wir das Gleichungssystem
√(x^2 + y^2 + z^2) = 5,24
√((x-5)^2 + y^2 + z^2) = 3,97
√((x-1,21)^2 + y^2 + (z-5,84)^2) = 4,52

Die Wurzeln werden wir los, indem wir jede Gleichung quadrieren:
x^2 + y^2 + z^2 = 27,4576
(x-5)^2 + y^2 + z^2 = 15,7609
(x-1,21)^2 + y^2 + (z-5,84)^2) = 20,4304

Wir haben 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten und bekommen 2 Lösungen:

1)
x = 3,66967
y ≈ 2,37358
z ≈ 2,89089

2)
x = 3,66967
y ≈ -2.37358
z ≈ 2,89089

Bzw. die zwei Punkte,
D_1 = (3,66967 / 2,37358 / 2,89089) und
D_2 = (3,66967 / -2,37358 / 2,89089)

In Kombination mit Lus anschaulichem Lösungsweg bekommen wir die graphische Ansicht:


Beste Grüße
gorgar