Beweis mit vollständiger Induktion: 1+3+5+...+(2n−1)=n²

Question

Die Aufgabe lautet: Beweisen Sie mit Hilfe der vollständigen Induktion, dass 1+3+5+...+(2n−1)=n², für alle natürlichen Zahlen n=1,2,3,...

Ich verstehe nicht, was es mit dem Teil 1+3+5+...+ auf sich hat. Wofür stehen die Punkte? Ich dachte ja zunächst folgendermaßen: Wenn man für n z. B. die Zahl 4 einsetzt, dann würde man rechnen 1+3+5+7+(2*4-1), was 23 ergeben würde. Bis 7 addiere ich, weil ja 2*4-1=7.

Das kann aber nicht sein, denn auf der anderen Seite der Gleichung würde dann 16 rauskommen (4²=16).

Ich verstehe also eigentlich die ganze Aufgabe nicht. Könnte mir das jemand bitte genau erläutern? Es gibt ja eigentlich hier schon Fragen zu genau dieser Aufgabe, aber aus den Antworten werde ich leider nicht schlau (bin grottenschlecht in Mathe).

:)

Comments

Wenn du die 4 einsetzt steht da: 1+3+5+(2*4-1)=1+3+5+7=16

Wenn du die 5 einsetzt steht dort: 1+3+5+7+(2*5-1)=1+3+5+7+9=25

gemeint ist: summiere alle ungeraden zahlen bis zur Obergrenze (2n-1) auf.

Eine eindeutigere Notation lautet :

$$ \sum_{k=1}^{n}({2k-1})=n^2 $$

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n steht also dafür, wie viele ungerade Zahlen man ab 1 beginnend addiert. Darauf muss man auch erst mal kommen. :D 4 bedeutet also die ersten vier ungeraden Zahlen 1, 3, 5, 7.

:)

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@Musikarchitekt Ja, das stimmt.

Answer 1

Hallo Musikarchitekt! :-)

\(1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) \) ist eine Schreibweise für \( \sum_{k=1}^{n}2k - 1 \)

Zu beweisen ist also mit vollständiger Induktion die Behauptung, dass \( \sum_{k=1}^{n}2k - 1 = n^2\)  für alle \( n \in \mathbb{N} \) gilt.

Indunktionsanfang \( n = 1 \).
\( \sum_{k=1}^{1}2k - 1 = 1 = 1^2 \) Der Induktionsanfang gilt.

Induktionsvoraussetzung: \( \sum_{k=1}^{n}2k - 1 = n^2\) gilt für ein \( n \geq 1 \).
Im Induktionsschritt ist zu zeigen: \( \sum_{k=1}^{n}2k - 1 = n^2 \Rightarrow  \sum_{k=1}^{n+1}2k - 1 = (n+1)^2 \).
Induktionsschritt:
\( \sum_{k=1}^{n+1}2k - 1 =  \sum_{k=1}^{n}2k - 1 + 2(n+1) - 1 = \)
\( n^2 + 2(n+1) - 1 \) mit der (Induktionsvoraussetzung)
= \(n^2 + 2n + 1 = (n+1)^2 \).
Mit dem Prinzip der vollständigen Induktion folgt die Behauptung.

Beste Grüße
gorgar

Comments

Danke für die Erklärung! :)

Leider kann ich ab

Induktionsschritt:

∑ⁿ⁺¹_k=12k-1=∑ⁿ_k=12k-1+2(n+1)-1= ....

nicht mehr folgen. Wie kommt man z. B. auf 2(n+1)? Nach dem ersten = sagt das Summenzeichen als Endwert ja nur noch n und nicht mehr n+1. Und warum kommt nach 2k-1 überhaupt noch irgendwas? Die ursprüngliche Formel lautet ja 2k-1=n².

:)

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Die Summe wird aufgeteilt, ich hätte vielleicht Klammern setzen sollen:

$$  \sum_{k=1}^{n+1}2k - 1 = \left( \sum_{k=1}^{n}2k - 1 \right) + 2(n+1) - 1 $$

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Danke für die schnelle Rückmeldung! :)

Folgende Sachen verstehe ich aber immer noch nicht:

1. Warum ist der Endwert zunächst n+1 und dann, bei dem Summenzeichen in der Klammer, nur noch n?

2. Warum wird 2k-1 noch um 2(n+1)-1 erweitert?

Ich schaue da immer noch wie ein Schwein ins Uhrwerk. :(

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@Musikartchitekt $$\sum_{k=1}^{n+1}{2k-1}=\left(\sum_{k=1}^{n}{2k-1}\right)+\sum_{k=n+1}^{n+1}{2k-1}$$ Das ist eine Umformungsregel für das Summenzeichen.

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Warum ist der Endwert zunächst n+1 und dann, bei dem Summenzeichen in der Klammer, nur noch n?

2(n+1) - 1 ist der letzte Summand der Summe, die von k=1 bis k=n+1 läuft.
Dieser Summand wird von der Summe abgetrennt, damit die Summe bis k=n läuft, um die Indunktionsvoraussetzung benutzen zu können.

Vielleicht hilft das:
$$  \sum_{k=1}^{n+1}(2 \cdot k-1) = 2\cdot1-1 +  2\cdot2-1 +  2\cdot3-1 + ... +  2\cdot n-1 + 2\cdot (n+1)-1 = \left(2\cdot1-1 +  2\cdot2-1 +  2\cdot3-1 + ... +  2\cdot n-1  \right) + 2\cdot (n+1)-1 = \left(\sum_{k=1}^{n}(2 \cdot k-1)  \right) + 2\cdot (n+1)-1 $$

Warum wird zu 2k-1 noch um 2(n+1)-1 erweitert?

Das ist nicht wirklich Erweitern, das ist der letzte Summand.

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Danke euch, jetzt ist es zumindest etwas klarer geworden. :)

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Super! Eine Frage hätte ich allerdings noch: Du bist nicht zufällig aus meinem Kurs (endete gestern), oder? Ich hatte genau dieses Beispiel als Aufgabe auf den Übungsblättern gestellt und auch das von Dir verwendete Vokabular entspricht dem, das ich bei meinen Erklärungen verwendet habe;-)

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@Musikarchitekt

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@André

Also ich studiere an der Hochschule Stralsund (IT-Sicherheit). :D

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Okay, dann gehörst Du nicht zu meinem Kurs;-) Dann viel Erfolg für Dein Studium!

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Jetzt würde mich aber noch mal interessieren: Wie kommt man auf diesen Ausdruck hier: n²+2n+1=(n+1)²

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1. Binomische Formel

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Also beim Induktionsschritt steht ja zunächst 2k-1. Dann kommt noch der letzte Summand 2(n+1)-1 hinzu, sodass wir 2k-1+2(n+1)-1 erhalten.

Jetzt das Problem: Angenommen, n ist 3, dann würde das ja bedeuten, dass die ersten 3 ungeraden Zahlen addiert werden (1+3+5), was 9 ergibt. Für k setze ich 1 ein (das ist ja unser Startwert) und für n die Zahl 3. Dann steht dort

2*1-1+2(3+1)-1

Doch dann erhält man als Ergebnis 8.

Als nächstes verstehe ich leider immer noch nicht, wie man jetzt auf n²+2(n+1)-1 kommt (genau genommen n², denn 2(n+1)-1 wäre mir noch klar, da für n ja n+1 eingesetzt wurde). Offenbar wurde 2k-1 durch n² ersetzt, was für mich leider auch nicht nachvollziehbar ist.

Der Rest ist mir soweit noch klar, n²+2(n+1)-1 wird ausmultipliziert zu n²+2n+2-1 (was gleich zu n²+2n+1 vereinfacht wurde), was (n+1)² entspricht (für n haben wir ja n+1 eingesetzt). n²+2n+1=(n+1)² entspricht also wie gesagt der 1. Binomischen Formel.

Aber woher n² kommt und warum 2k-1 wegfällt, verstehe ich leider nicht.

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Also beim Induktionsschritt steht ja zunächst 2k-1. Dann kommt noch der letzte Summand 2(n+1)-1 hinzu, sodass wir 2k-1+2(n+1)-1 erhalten.
Jetzt das Problem: Angenommen, n ist 3, dann würde das ja bedeuten, dass die ersten 3 ungeraden Zahlen addiert werden (1+3+5), was 9 ergibt. Für k setze ich 1 ein (das ist ja unser Startwert) und für n die Zahl 3. Dann steht dort
2*1-1+2(3+1)-1
Doch dann erhält man als Ergebnis 8.

2k-1 kannst Du nicht einfach so für n = 3 stehen lassen, vor dem 2k-1 steht doch noch das Summenzeichent ∑.


Aber woher n² kommt und warum 2k-1 wegfällt, verstehe ich leider nicht.

2k-1 fällt nicht weg, es wird _k=1∑ⁿ 2k-1 durch n^2 ersetzt, denn es gilt _k=1∑ⁿ 2k-1 = n^2 für ein n >= 1.

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Danke für die Antwort, aber warum 2k-1 durch n² ersetzt wird, verstehe ich immer noch nicht. :(

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2k-1 wird nicht durch n ersetzt, sondern, es wird _k=1∑ⁿ 2k-1 durch n² ersetzt. Guck:

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Aber ich verstehe leider noch nicht, woher das n² herkommt. Zumal im Summenzeichen ja auch nichts von einem n² steht. Tut mir Leid, aber ich glaube, ich bin zu dämlich dafür. X(

Grüße ;)

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Bei Beweisen duch vollständige Induktion wird im Induktionsschluss an passender Stelle von der Induktionsvoraussetzung gebrauch gemacht. Die lautet hier: Es gibt eine natürliche Zahl n mit

$$\sum_{k=1}^{n}({2k-1})=n^2$$Man kann daher an der geeigneten Stelle im Beweis die linke Seite durch die rechte ersetzen.

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Dann ist ja schon mal klar, woher das n² kommt. Aber woher weiß man, wann eine Stelle dafür geeignet ist, dass man die linke Seite durch die rechte ersetzt? Dies ist ja im Induktionsschritt erst nach dem zweiten Gleichheitszeichen passiert. Warum hätte man 2k-1 nicht direkt zu Beginn schon durch n² ersetzen können?

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Aber woher weiß man, wann eine Stelle dafür geeignet ist, dass man die linke Seite durch die rechte ersetzt?

Rechne einfach ein paar Übungsaufgaben dieser Art, dann wird Dir das klar.

Dies ist ja im Induktionsschritt erst nach dem zweiten Gleichheitszeichen passiert.Warum hätte man 2k-1 nicht direkt zu Beginn schon durch n² ersetzen können?

Weil die Gleichung dann falsch wäre :-O

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Rechne einfach ein paar Übungsaufgaben dieser Art, dann wird Dir das klar.

Wenn ich ein paar Aufgaben dieser Art rechnen könnte, wäre ich mehr als froh. :)

Weil die Gleichung dann falsch wäre :-O 

Schon klar, aber es ist ja die Frage nach dem Warum. ;)

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Wenn ich ein paar Aufgaben dieser Art rechnen könnte, wäre ich mehr als froh. :)

Gibt es an Deiner Uni keine Übungsskripte mit Lösungen? Man kann ja die Lösungen studieren und daraus lernen.

Schon klar, aber es ist ja die Frage nach dem Warum. ;)

Die Induktionsvoraussetzung ist für ein n ≥ 1 formuliert. Und erst nach dem von Dir erwähnten zweiten Gleichheitszeichen ist der Term so "präpariert", wie er in der Induktionsvoraussetzung steht.