Allg. Formel zur n-ten Ableitung von f(x)=sin(3x)?

Question

Gegeben ist die Funktion f(x)=sin(3x).

Jetzt soll ich einige der ersten Ableitungen bilden und daraus herausfinden, wie f^ ((n))(x) lautet.

Bisher habe ich herausgefunden, dass sich sin und cos immer abwechseln, die Vorzeichen sich immmer abwechseln und vor dem sin/cos immer eine Potenz von 3 ist. Trotzdem komme ich nicht darauf.

Vielen Dank aus dem schönen Schwarzwald!

Answer 1

f(x) = sin(3x)

f'(x) = 3 * cos(3x) = 3 * sin(3x + pi/2)

f''(x) = 3² * cos(3x + pi/2) = 3² * sin(3x + 2*pi/2)

fⁿ(x) = 3ⁿ * sin(3x + n*pi/2)

Answer 2

Naja, wenn man sich die Funktion grafisch anschaut und deren Ableitungen, dann stellt man fest, dass der cosinus nichts anderes ist als ein verschobener sinus.

$$\sin { (x+\cfrac { \pi }{ 2 } ) }$$

$$\cos(x) = \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$$

Das heißt somit, dass die n-te Ableitung von sinus ohne zusätzliche Faktoren auch als

$$f^{ (n) }\left( x \right) =\sin { \left( x+n\cdot \frac { \pi }{ 2 } \right) }$$

$$\sin(x)^{(n)} = \sin\left(x + n\cdot\frac{\pi}{2}\right)$$

geschrieben werden kann.

Vielleicht verstehst du es und kommst so auf die komplette Lösung :3

Edit Unknown: Latex gesetzt

Comments

sorry aber, dass mit den cfrac... versteh ich nicht

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Wird die mein Text auch so seltsam dargestellt?

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ja hab mich auch bissl gewundert xD

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habe es nun "normal" eingetippt

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cos(x) = sin(x + pi/2) 

sin(x)ⁿ = sin(x + n*pi/2) 

Die 2. Zeile soll doch die Abletung von der 1. Glechung sein,o der?

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Könntest du deine Idee in etwa so aufschreiben:

f(x)=sin(3x)

f'(x)=... (mit sin (3x+...)

...

...

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ich meine, wenn

f(x) = sin(x)

ist, dann ist

f'(x) = cos(x)

was man auch als

cos(x) = sin(x + pi/2)

schreiben kann. Somit ist

f(x)ⁿ = sin(x + n*pi/2)

Ich hoffe, es ist jetzt klar. Wie gesagt, versuch es mit dem Faktor 3 selbst zu lösen mit meinem Lösungsansatz für sin(x)

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Ich könnte es mit dem Faktor 3 schaffen, wenn sich nicht das Vorzeichen wechseln würde. Könntest du ir noch sagen, wie man das mit dem Vorezichen macht?

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Es gilt cos(z) = sin(z + pi/2)

D.h. du drückst die Kosinusfunktion immer geschickt durch eine verschobene Sinusfunktion aus. Dann hast du kein Vorzeichenwechsel.

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Danke jetzt hab ich es verstanden!

Answer 3

Hallo beniss,

f⁽⁰⁾ (x)  =    3⁰ * sin(3x)   =  f(x)

f⁽¹⁾ (x)  =    3¹ * cos(3x)  =  f '(x)

f⁽²⁾ (x)  =  - 3² * sin(3x)   =  f "(x)

f⁽³⁾ (x)  =  - 3³ * cos(3x)

f⁽⁴⁾ (x)  =   3⁴ * sin(3x)

....

f⁽ⁿ⁾ (x)   =  (    3ⁿ * sin(3x)       wenn n/4 den Rest 0 hat

                 (    3ⁿ * cos(3x)       wenn n/4 den Rest 1 hat

                 (  - 3ⁿ * sin(3x)       wenn n/4 den Rest 2 hat 

                 (  - 3ⁿ * cos(3x)       wenn n/4 den Rest 3 hat  

       

Gruß Wolfgang

Comments

Vielen Dank, aber es geht auch weniger umständlich mit der obigen Formel.

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Wäre allg. nicht $${ f }^{ n }(x)=an*\sin { (ax+n\frac { pi }{ 2 } ) }$$

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Ja,

f(x) = sin(ax)

f⁽ⁿ⁾(x) = aⁿ * ( ax + n * π/2)

ist eine richtige Verallgemeinerung der o.g. "weniger umständlichen" Formel

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@benisss:

Ich hatte die deutlich elegantere Darstellung in obiger Antwort durchaus zur Kenntnis genommen und es ist geradezu unverzeihlich, dass mir das nicht direkt eingefallen ist.

Ich bin daher untröstlich, dass ich dich bei meinen (kostenlosen) Bemühungen, dir zu helfen, mit meiner - immerhin richtigen! - Antwort gelangweilt habe. Wird mit Sicherheit niemals wieder vorkommen. Es sei denn du änderst deinen Namen.