Banachscher Fixpunktsatz. Kontraktionseigenschaft nachweisen.

Question

Gegeben Sei \( M:=\{x\in ℝ| x \ge 1\} \) sowie die Funktion

$$ f: M \rightarrow ℝ, x \mapsto \frac{1}{2}\left( x+\frac{2}{x}\right) $$

Untersuchen Sie, ob die Voraussetzungen des Banachschen Fixpunktsatzes erfüllt sind und bestimmen Sie gegebenenfalls den Fixpunkt von f in (M,d) mit \(d(x,y)=|x-y| \quad \forall x,y \in M \).

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Voraussetzungen sind:

1. (M,d) vollständiger metrischer Raum, aber das ist erfüllt, da (ℝ,d) ein vollständiger Raum und M abgeschlosse Teilmenge von ℝ ist.

2. f ist eine strenge Kontraktion, d.h.

$$ \exists 0<a<1 \forall x,y\in M: d(f(x),f(y))<a·d(x,y) $$

Am Nachweis dieser Eigenschaft hänge ich jetzt etwas...

Ich habe mir gedacht, f ist auf M stetig und differenzierbar:

$$ \max _{ x\in M }{ \left| { f }^{ ' }(x) \right|  } =\max _{ x\in M }{ \left| \frac { 1 }{ 2 } -\frac { 1 }{ { x }^{ 2 } }  \right|  } =\frac { 1 }{ 2 }  $$

Seien nun \(x,y \in M\), dann existiert nach dem Mittelwertsatz der Diff. ein \(z\in M\), s.d.

$$ \frac { f(x)-f(y) }{ x-y } ={ f }^{ ' }(z) $$, also

$$ \left| \frac { f(x)-f(y) }{ x-y }  \right| =\left| { f }^{ ' }(z) \right| \le \frac { 1 }{ 2 } \quad \Rightarrow \quad \left| f(x)-f(y) \right| \le\frac { 1 }{ 2 } \left| x-y \right|  $$

Ich könnte demnach a=3/4 o.Ä. setzen. Kann ich so vorgehen? Ich habe auch versucht, abzuschätzen:

$$ \left| f(x)-f(y) \right| =\left| \left( \frac { x }{ 2 } +\frac { 1 }{ x }  \right) -\left( \frac { y }{ 2 } +\frac { 1 }{ y }  \right)  \right| \le \frac { 1 }{ 2 } \left| x-y \right| +\left| \frac { 1 }{ x } -\frac { 1 }{ y }  \right|  $$

Aber diese Abschätzungen scheinen alle zu pessimistisch zu sein, über Vorschläge hierzu wäre ich auch sehr dankbar. Der Fixpunkt ist dann: \( f(\sqrt{2})=\sqrt{2} \).

Gruß

Comments

\(f\) ist nicht mal fur alle \(x\in M\) definiert. Da eruebrigt sich alles Weitere.

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Hmmm, ich habe ≤ mit ≥ in Latex verwechselt, danke für den Hinweis! Die Definition sollte eigentlich:

$$ M:=\{  x \in\mathbb{R} | x \ge 1 \} $$

lauten...

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Dann ist das so ok. Es fehlt aber noch 3. \(f(M)\subset M\).

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Dass diese Eigenschaft notwendig ist, war mir bis jetzt nicht bewusst... Die Selbstabbildungeigenschaft wurde in der Vorlesung nämlich nicht erwähnt. Danke für diesen Hinweis.

Answer 1

Wie im Kommentar steht fehlt f(M)⊂M.

Das bekommst du aber hin: Sei x ∈ M, also x≥1

Dann gilt

f(x) = 0,5*( x + 2/x) = 0,5*  (x² + 2 ) / x

≥ 0,5*  (x² + 2 )   ≥  0,5*3 = 1,5

Also f(x) ≥ 1,5 > 1   q.e.d.

Sonst ist doch alles ok, das mit dem Mittelwertsatz.

Comments

 0,5*  (x² + 2 ) / x ≥ 0,5*  (x² + 2 ) ≥  0,5*3 = 1,5

Hier hat sich bei dir ein kleiner Fehler eingeschlichen. f(1,5) < 1,5.

$$ \frac { 1 }{ 2 } \left( x+\frac { 2 }{ x }  \right) \ge 1\quad \Leftrightarrow \quad \left( x+\frac { 2 }{ x }  \right) \ge 2\quad \overset { x>0 }{ \Longleftrightarrow  } \quad { x }^{ 2 }+2\ge 2x\quad \Leftrightarrow \quad { \left( x-1 \right)  }^{ 2 }+1\ge 0 $$

Der letzte Punk gilt sicher für alle x>0. Daraus folgt dann \( f(M) \subseteq M \).

Gruß