Steckbriefaufgaben (mit Tangenten). Wendetangente t mit f(x)=2x-2

Question

soweit komme ich eigentlich mit den bedingungen klar, aber es gibt die ein oder andere die mich zum verzweifeln bringt.

1. bestimmen sie den funktionsterm f(x) der ganzrationalen funktion vierten grades, deren graph bei y=-2 die wendetangente t mit f(x)=2x-2 und bei x=-2 und x=3 waagerechte tangenten hat. (Lösung: f(x)=1/72x^4-7/54x^3+2x-2)

als erstes die funktionen aufstellen: f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e         f'(x)=a4x^3+b3x^2+cx+d    f''(x)=a12x^2+b6x+c

Symmetrie(wir brauchen 5 Bedingungen):

f(0)=-2

-2=0+0+0+0+e

e=-2

f'(0)=2 (weil die erste ableitung die Steigung umschreibt und laut der linearen funktion m=2 sein muss)

2=0+0+0+d

d=2

so nun bin ich raus, ich verstehe diese komische information mit x=-2 und x=3 nicht

warte auf Rückmeldung

MFG

Answer 1

1. bestimmen sie den funktionsterm f(x) der ganzrationalen funktion vierten grades, deren graph bei y=-2 die wendetangente t mit f(x)=2x-2

Wendetangente
y = -2 ( Funktionswert )
t ( x ) = 2*x - 2
t ( x ) = 2*x - 2 = -2
x = 0
f ´´ ( 0 ) = 0 ( Krümmung )
f ( 0 ) = -2 ( Koordinate )
f ´( 0 ) = 2 ( Steigung )

und bei x=-2 und x=3 waagerechte tangenten hat.

f ´( -2 ) = 0
f ´( 3 ) = 0

als erstes die funktionen aufstellen: f(x)=ax⁴+bx³+cx²+dx+e        
f'(x)=a4x³+b3x²+2cx+d   
f''(x)=a12x²+b6x+c

f(x) = 1/72·x^4 - 7/54·x^3 + 2·x - 2

Ein Fehler war z.B. bei dir
nicht
f'(x)=a4x³+b3x²+cx+d
sondern
f'(x)=a4x³+b3x²+c2x+d

Bei Bedarf nachfragen

Comments

Der Lösungsweg ist bei diesen Aufgaben
immer derselbe

1.) Aufstellen der Aussagen in Kurzform
f ´´( 0 ) = 0
f ( 0 ) = -2
f ´( 0 ) = 2
f ´( -2 ) = 0
f ´( 3 ) = 0

2.) Einsetzen der Aussagen in die
Funktion / 1.Ableitung / 2.Ableitung

f(x)=ax⁴+bx³+cx²+dx+e        
f'(x)=a4x³+b3x²+2cx+d   
f''(x)=a12x²+b6x+c

f''(0) = a12 * 0^2 + b6 * 0 + c = 0
f ( 0 ) = a * 0^4 + b* 0^3 + c^3 + d*0 + e = -2
f ´( 0 ) = a4 * 0^3 + b3 * 0^2 + c * 0 + d = 2
f ´( -2 ) = a4 * (-2)^3 + b3 * (-2)^2 + c * (-2) + d = 0
f ´( 3 ) = a4 * (3)^3 + b3 * (3)^2 + c * (3) + d = 0

3.) zusammenfassen
f '' (0) = c = 0
f ( 0 ) = e = -2
f ´( 0 ) = d = 2
f ´( -2 ) = - a * 32  + 12b  - c + d = 0
f ´( 3 ) = a * 108 + b * 27  + c * 3 + d = 0

4. Lösung des linearen Gleichungssystems

Ich hoffe ich habe alles richtig eingesetzt.

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Hallo Georg,

sitzt du schon oder noch am Computer?

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Schon, allerdings nur kurze Zeit.
Ich ( 64 jahre ) kann Nachts nicht mehr so gut
schlafen.
Auch aufrgrund des Jahrerzeitenwechsels
( längere Nächte ).
Dann stehe ich auf, mache irgendwas,
lege mich aber wieder ein 2. Mal hin.

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Das verstehe ich (73) gut.

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wow, danke ich habe es verstanden, da ich noch mehr dieser Steckbriefaufgaben mit  gleichungen von tangenten üben werde, werde ich bei offenen fragen noch eine Rückmeldung geben. Und außerdem wollte ich nochmals erwähnen das ihr alle sehr weise seid, ihr kennt euch in jedem bereich der mathematik nahezu perfekt aus.

Respekt!

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eine kleine frage, wie bist du auf f''(0)=0 gekommen, dass macht man eigentlich bei wendepunkten und zählt eine wendetangente auch dazu? warte auf rückmeldung, weil ich muss jede bedingung möglichst gut kennen.

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Tangenten können an beliebige Punkte
einer Kurve angelegt werden.

Eine Wendetangente ist eine Tangente in
einem Wendepunkt.

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alles klar, herzlichsten dank! wiedermal hast du licht ins dunkle gebracht.

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Spruch des Tages
Es ist noch kein Meister vom Himmel
gefallen.

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@Mathe-Lauch

> alles klar, herzlichsten Dank! wiedermal hast du licht ins Dunkle gebracht. 

Das Licht hättest du durch Lesen meiner Kommentare (vor allem des letzen) schon 10 Stunden früher anmachen können!  :-)

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da habe ich schon geschlafen :)

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Zwischen deiner letzten Nachfrage und meinem letzen Antwortkommentar waren ja immerhin auch 8 Minuten vergangen.

Da habe ich mir wirklich unverschämt viel Zeit gelassen :-)

Answer 2

Hallo Mathe-Lauch,

>  und bei x=-2 und x=3 waagerechte tangenten 

>  Ich verstehe diese komische information mit x=-2 und x=3 nicht

Waagrechte Tangente bei x = a   bedeutet  einfach  f '(a) = 0 ,

weil  f '(a)  die Steigung von f ( = Steigung der Tangente) an der Stelle x = a  ist  und eine waagrechte Tangente die Steigung 0 hat.  

Gruß Wolfgang

Comments

aber ich kann jetzt ja nicht f(-2/3)=0 machen

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Nein, das ergibt 2 Gleichungen:

f '(-2) = 0      und    f '(3) = 0

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ach so danke, kannste mit einem auge auf meinem vorherigen ansatz schauen und sagen ob das soweit richtig ist?

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mir fehlen irgendwie 2 bedingungen noch?

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d = 2 und e = -2  sind richtig, wie du an der Lösung erkennen kannst

Eine weitere Bedingung ist

 f "(0) = 0  (  →  c = 0 ) ,  weil die Wendetangente durch den Wendepunkt (0 | -2)  verläuft.

2 weitere Bedingungen habe ich dir gerade oben hingeschrieben :-)

f '(-2) = 0   und    f '(3) = 0

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danke, aber das ist eine funktion 4 grades 3 gleichungen sind zu wenig?ist sie jetzt somit unvollständig oder wie

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>   3 Gleichungen sind zu wenig

Deine 2 am Anfang und meine 3 weiteren wären dann ja wohl 5

 d = 2  und e = -2     hast du schon berechnet.

c = 0  habe ich oben berechnet.

Wir haben also: 

f(x) = a·x^4 + b·x^3 + 2·x - 2

f '(x) = 4·a·x^3 + 3·b·x^2 + 2

Bleiben a und b zu bestimmen. Dafür hast du die beiden Bedingungen

f '(-2) = 0   und    f '(3) = 0

- 32·a + 12·b + 2 = 0   und   108·a + 27·b + 2 = 0

Gleichungssystem lösen (schaffst du das?):

→   a = 1/72  ;    b = - 7/54