Taylorpolynom bestimmen und skizzieren

Question

Es ist folgende Funktion gegeben:

$$ f\left( x \right) =\frac { { \left( 1+x \right)  }^{ 2 } }{ \sqrt { 1-{ x }^{ 3 } }  } ,    -1\le x\le 1$$

1.) Bestimmen Sie die Taylorpolynome ersten, zweiten und dritten Grades im Punkt a=0 und skizzieren Sie diese zusammen mit f(x).

2.) Geben Sie eine Schranke für den relativen Fehler mit Hilfe des Restglieds in Lagrange-Form an, wenn Sie f(x) für |x| <= 0,5 durch das Taylorpolynom zweiten Grades um a=0 ersetzen.

Bitte um Hilfe bei dieser Aufgabe. Was muss ich tun und wie?

Answer 1

Schau in dein Aufzeichnungen, Skript, Buch wie du das Taylorpolynom aufstellst. Die Taylorpolynome 1., 2. und 3. Grades an der Stelle a lauten.

T1(x) = f(a) + f'(a)/1! * x

T2(x) = f(a) + f'(a)/1! * x + f''(a)/2! * x^2

T3(x) = f(a) + f'(a)/1! * x + f''(a)/2! * x^2 + f'''(a)/3! * x^3

Einsetzen und ausrechnen. Dann die Graphen skizzieren. Notfalls mit Hilfe einer Wertetabelle.

Den Fehler beim Taylorpolynom 2. Grades schätzt du mit dem Restterm ab. Das sollte eigentlich auch in deinen Unterlagen, Skript oder im Buch stehen.

Probier nun mal mit Aufgabe a). Wenn du nicht weiter weißt dann melde dich nochmals.

Comments

Die Skizze könnte so aussehen

~plot~ (1+x)^2/sqrt(1-x^3);2x+1;x^2+2x+1;0.5x^3+x^2+2x+1;[[-2|2|-0.5|2.5]] ~plot~

Man sieht hier aber schlecht alle Funktionen.

Answer 2

Hi mathemaggie! :-)

f(0) = 1
f'(0) = 2
f''(0) = 2
f'''(0) = 3

P_1,0(x) = f(0) + f'(0)·x = 1 + 2x
P_2,0(x) = f(0) + f'(0)·x + f''(0)·x^2/2! = 1 + 2x + x^2
P_3,0(x) = f(0) + f'(0)·x + f''(0)·x^2/2! + f'''(0)·x^3/3! = 1 + 2x + x^2 + 1/2·x^3

x ∈ [-1, 1)

Man sieht, wie sich die Graphen der Taylorpolynome mit steigendem Grad f nähern.

f(x) = P_n,a(x) + R_n,a(x)
R_n,a(x) = f(x) - P_n,a(x)

Δy = R_n,a(x) = f(x) - P_n,a(x)
y = f(x)
Δy / y = (f(x) - P_n,a(x)) / f(x)

n = 2, a = 0, x = 0,5
Δy / y = (f(0,5) - P_2,0(0,5)) / f(0,5)
Δy / y = (2,405 - 2,25) / (2,405) ≈ 0,06 = 6%

Beste Grüße
gorgar