Urnenmodell: Aus einer Urne werden n Kugeln mit Zurücklegen gezogen

Question

Die Urne enthält 4 rote, 6 gelbe und 10 blaue Kugeln. X sei die Anzahl der gezogenen roten Kugeln. Y die Anzahl der gezogenen gelben Kugeln.

a) Es sei n=5. Wie ist die Verteilung von X? Berechne E(X).

b) Wieder sei n=5. Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden genau 3 rote Kugeln gezogen?

c) Wie viele Kugeln müssen mindestens gezogen werden, damit der Erwartungswert von Y größer als 5 ist?

Meine Lösung hierzu:

zu a) P(X=0) = (5 über 0) * 0,2⁰ * 0,8⁵ = 1024/3125

        P(X=1) = (5 über 1) * 0,2¹ * 0,8⁴ = 1280/3125

Analog ergeben sich P(X=2)= 640/3125 ; P(X=3)= 160/3125 ; P(X=4)= 20/3125; P(X=5)= 1/3125

E(X)= (1*1280+2*640+3*160+4*20+5*1)/3125=1

Ich hätte auch alternativ rechen können: E(X)=n*p=5*0,2=1

zu b) das ist der Wert von P(X=3)= 160/3125 = 0,0512

zu c) E(X)>=5     E(X)=n*p=n*0,3, also n>=5/0,3=16,6

Mindestens 17 Kugeln müssen gezogen werden.

Comments

Das ist doch keine Frage, sondern bereits die Antwort.

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Die Frage ist natürlich, ob die Antworten richtig sind. :-)

Answer 1

Die Urne enthält 4 rote, 6 gelbe und 10 blaue Kugeln. X sei die Anzahl der gezogenen roten Kugeln. Y die Anzahl der gezogenen gelben Kugeln.

a) Es sei n=5. Wie ist die Verteilung von X? Berechne E(X).

X ist binomialverteilt mit

P(X = k) = (5 über k) * 0.2^k * 0.8^{5 - k}

E(X) = n * p = 5 * 0.2 = 1

b) Wieder sei n=5. Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden genau 3 rote Kugeln gezogen?

P(X = 3) = (5 über 3) * 0.2^3 * 0.8^{5 - 3} = 5.12%

c) Wie viele Kugeln müssen mindestens gezogen werden, damit der Erwartungswert von Y größer als 5 ist?

E(Y) = n * p = n * 0.3 > 5 --> n > 16.7

Damit müssen mind. 17 Kugeln gezogen werden.