Konvergenz von Reihen mit (-1)^n

Question

Mir sind die Verfahren wie Quotientenkriterium, Wurzerlkriterium, Majorantenkriterium, Leibnitz-Verfahren bekannt.

Jedoch bin ich mir nicht sicher, wie ich an diese Aufgabe herangehen soll. Beides mal könnte man doch das Majorantenkriteriu heranziehen? Für Ansätze wäre ich sehr dankbar!

Lg

Comments

Wie kommst du auf das? Das nach oben abschätzen ist mir nicht bekannt, forme eigentlich immer nur um und hebe heraus. Kannst du mir das bitte kurz erklären?

Lg

Answer 1

Wenn Du es mit dem Majorantenkriterium versuchen willst, warum machst Du das dann nicht einfach? Dazu ist bekanntlich der Betrag des Reihengliedes nach oben abzuschaetzen. Z.B. kann man $$\left|\frac{5n+(-1)^n}{n^3-n-1}\right|<\frac{12}{n^2}\quad\text{fuer grosse $n$}$$ erhalten und ebenso $$\left|\frac{(-1)^n}{n^2-(-1)^n}\right|<\frac{2}{n^2}\quad\text{fuer grosse $n$.}$$

Comments

Wie kommst du auf das? Das nach oben abschätzen ist mir nicht bekannt, forme eigentlich immer nur um und hebe heraus. Kannst du mir das bitte kurz erklären?

Lg 

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Regeln für den Betrag; ein Bruch wird groesser, wenn man den Zaehler vergroessert oder den Nenner verkleinert; einfache Tatsachen ueber das Wachstum von Polynomen, wie z.B. \(n^3-n-1>n^3/2\) für grosse \(n\).

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Danke für deine Antwort!

Das ist mir schon klar, wann ein Bruch größer bzw. kleiner wird. Mich hätte nur interessiert wie du auf das bei diesem konkreten Beispiel gekommen bist. Weil auf das wäre ich auf jeden Fall nicht gekommen.

Lg

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Abzuschaetzen ist der Betrag eines Bruchterms mit Polynomen in n sowohl im Zaehler als auch im Nenner. Betraege, Brueche, Polynome. Mit diesen drei Sachen wird man wohl zu arbeiten haben. Am Anfang wird die Regel $$\left|\frac{a}{b}\right|=\frac{|a|}{|b|}$$ stehen. Danach ist zu fragen, wie man den Betrag wegbekommt und sowohl im Zaehler als auch im Nenner einfache Sachen in der richtigen Richtung produziert, die sich huebsch und glatt dividieren lassen.