$$ \sqrt{7+\sqrt{7+x}} = x $$"Nach meinen Überlegungen können dir beiden Seiten nie gleich werden, wenn man für x etwas einsetzt."
Betrachten wir die beiden Seiten mal als Funktionen von \(x\). Der Graph der linken Funktion startet dann im Punkt \(\left(-7|\sqrt{7}\right)\), ist streng monoton steigend und rechtsgekrümmt. Der Graph der rechten Funktion startet im Punkt \(\left(-7|-7\right)\) und ist eine streng monoton steigende Halbgerade. Der Graph der linken Funktion liegt also zunächst oberhalb des Graphen der rechten Funktion und muss ihn daher entsprechend seiner Krümmung irgendwann genau einmal schneiden.
Ein wenig Herumprobieren macht deutlich, dass dies irgendwo zwischen \(x=3\) und \(x=4\) sein muss. Dies wäre dann ein möglicher Ansatz für die Anwendung irgendeines passenden numerischen Verfahrens, und sei es auch nur eine einfache Intervallschachtelung durch fortgesetztes Einsetzen, unmittelbar auf die Gleichung.
Vermutlich möchte man es aber doch lieber algebraisch machen, dann weiß man nun bereits, welche Scheinlösungen ausgeschlossen werden können.
