mit Gleichunggsystem:
die Variablen lauten x,y,z, a ist Parameter.
Bedingung:
x*(1,1,a)+y*(1,a,-1)+z*(2a,2,-1)=0
Gibt 3 Gleichungen:
x+y+2az=0
x+ay+2z=0
ax-y-z=0
Man kann auch Einsetzverfahren verwenden, ist aber etwas unangenehm ;)
z.B dritte Gleichung: z=ax-y in die beiden anderen Gleichungen einsetzen:
x+y+2a(ax-y)=0
x+ay+2(ax-y)=0
umsortieren:
(2a^2+1)x+(-2a+1)y=0
(2a+1)x+(a-2)y=0 , für a=2 wird x=0 und damit y=0 also linear ünabhängig
zweite Gleichung nach y umstellen:
y=-(2a+1)x/(a-2)
in erste Gleichung einsetzen:
(2a^2+1)x-(-2a+1)(2a+1)x/(a-2)=0
liefert x=0 wenn a≠2. Dann sind aber auch y=z=0 und die Vektoren linear unabhängig.
Nun gibt es aber einen Sonderfall: sortiert man die letzte Gleichung,
erhält man ((2a^2+1)-(-2a+1)(2a+1)/(a-2))x=0
Ist der Vorfaktor vor x 0, dann ist die Gleichung stets erfüllt und die Vektoren sind linear abhängig.
man erhält dann 2a^3+a-3=0 und damit a=1.
Leichter sieht man es in der Ausgangsform des Gleichungsystems.
x+y+2az=0
x+ay+2z=0
ax-y-z=0
Wenn a=1 sind zwei Gleichungen identisch.
Hieran siehst du, weshalb man lieber den Weg über die Determinante wählt ;)
