Zeigen Sie für n element N die Ungleichung (1-1/n)^n < (1-(1/n+1))^n+1 : (Beweis)

Question

Ich komme einfach nicht auf den richtigen Beweis drauf. Den Beweis für die "positiven Seiten" habe ich bereits, jedoch beim folgeneden hänge ich komplett :/

(1-1/n)^n  <  (1-(1/n+1))^n+1

Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen, den Beweis herauszufinden, der besagt, dass diese Aussage richtig ist!

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EDIT: Hast du Klammern vergessen / unterschlagen?

(1-1/n)^n  <  (1-(1/n+1))^n+1 = (1 - 1/n - 1)^n + 1   = (-1/n)^n + 1 (???) 

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Variante von https://www.mathelounge.de/477567/1-1-n-n-1-1-1-n-1-n-2 ?

Answer 1

Ein bekannter und auch sonst vielseitig verwendbarer Trick ist, die AGM-Ungleichung in der Form $$x_1x_2\ldots x_m\le \left(\frac{x_1+x_2+\cdots+x_m}{m}\right)^m$$ zu benutzen. Fuer die linke Seite nimmst Du $$\left(1-\frac{1}{n}\right)^n\cdot1.$$

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Aber wie sieht dann die rechte Seite aus?

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Rechne doch aus, dann weisst Du's. Links stehen \(m=n+1\) Faktoren. Identifiziere sie und setze ein.