Bestimmen Sie das konstante (von x unabhängige) Glied des Binoms ( x^2 + 1/x )^9

Question

BIch denke, dass ich den Term in zwei Teile aufspalten muss, aber dann ist ja trotzdem in jedem noch das x vorhanden und somit nicht unabhängig, oder?

Answer 1

Bestimme aus der Gleichung

$$ \begin{pmatrix} 9\\k \end{pmatrix} \cdot \left(x^2\right)^{9-k} \cdot \left(\dfrac{1}{x}\right)^k = \begin{pmatrix} 9\\k \end{pmatrix} $$das k, dann steht der gesuchte Summand da!

Comments

Okay, vieleicht könntest du mir noch auf die Sprünge helfen, wie ich k heraus bekomme. Ich würde es gerne alleine versuchen, aber finde keinen Ansatz im Internet.

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Vereinfache das zunächst zu
$$ x^{2\cdot\left(9-k\right)} \cdot \dfrac{1}{x^k} = 1 $$und dann weiter zu
$$ x^{2\cdot\left(9-k\right)-k} = x^0 $$Jetzt liefert ein Exponentenvergleich schnell die Lösung.

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Hallo az0815,

Ich stehe gerade vor dem selben Problem. Könntest du mir bitte erläutern, wie du auf diesen Gedankengang kommst?

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morgen wird diese Frage ein Jahr alt! :-)

Das gesuchte Ergebnis lässt sich ja bereits durch "scharfes Hingucken" im Kopf bestimmen. Ich habe damals aber aus irgendwelchen Gründen versucht, es zu berechnen.

Dazu habe ich den binomischen Lehrsatz benutzt, um die linke Seite der Gleichung zu formulieren. Sie beschreibt für k=0,...,9 alle zehn Summanden des ausmultiplizierten Binoms.

Gesucht wird aber nur der Summand, der nach dem Kürzen kein x mehr enthält – der also durch die rechte Seite der Gleichung beschrieben werden kann.

Answer 2

Beachte die binomischen Formeln (Pascaldreieck).

Berechne

(x^2)^1 * (1/x)^8 = 1/x^6

und (x^2)^2 * (1/x)^7 = 1/x^3

usw.

und überlege, wie überhaupt 1 herauskommen kann.

Weiter als bis (x^2)^9 * (1/x)^0  brauchst du nicht zu gehen.