Question

Bestimmen Sie das x, für das diese Gleichung erfüllt ist. 8 / (x+2)  =  8 / (x-2)  + 24 / ( 12-6x)

Bitte mit Lösungsweg...... :) vielen Dank

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Vom Duplikat:

Titel: Das x der Bruchgleichung bestimmen. 8/(x+2) = 8/(x-2) + 24/(12 - 6x)

Stichworte: bruchgleichung

Aufgabe:

8            8         24

------- = ------ + -----------

x + 2     x - 2      12 - 6x

Problem/Ansatz:

könnt ihr mir bitte sagen, wie ich das X der Gleichung bestimme.

Answer 1

8 / (x+2)  =  8 / (x-2)  + 24 / ( 12-6x)

8 / (x+2)  =  8 / (x-2)  + 24 / ( 6* (2-x) )              6 kürzen

8 / (x+2)  =  8 / (x-2)  + 4 /  (2-x)               mit - 1 erweitern

8 / (x+2)  =  8 / (x-2)   - 4 /  (x-2)

8 / (x+2)  =  4 / (x-2)

8*(x-2) = 4*(x+2)

8x-16 = 4x + 8

4x = 24

x = 6

Answer 2

Grundsätzliches Vorgehen bei Gleichungen mit Variablen im Nenner ist, dass du die Gleichung mit dem Nenner multiplizierst. Dann kannst du Kürzen.

Wenn du das in deiner Gleichung mit den drei Nennern machst, dann bekommst du eine quadratische Gleichung, die du vielleicht lieber nicht lösen möchtest.

Tipp um das zu verhindern: (12-6x) = -6·(x-2)

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Ok Danke. Kannst Du mir vielleicht noch das Ergebnis reinschreiben. Dann kann ich das besser nachvollziehen.

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\(\begin{aligned}\frac{8}{x+2} & =\frac{8}{x-2}+\frac{24}{12-6x}\\\frac{8}{x+2} & =\frac{8}{x-2}+\frac{24}{-6\cdot\left(x-2\right)} & & |\,\cdot\left(x+2\right)\\\frac{8}{x+2}\cdot\left(x+2\right) & =\left(\frac{8}{x-2}+\frac{24}{-6\cdot\left(x-2\right)}\right)\cdot\left(x+2\right)\\\frac{8\cdot\left(x+2\right)}{x+2} & =\frac{8\cdot\left(x+2\right)}{x-2}+\frac{24\cdot\left(x+2\right)}{-6\cdot\left(x-2\right)}\\8 & =\frac{8\cdot\left(x+2\right)}{x-2}+\frac{24\cdot\left(x+2\right)}{-6\cdot\left(x-2\right)} & & |\,\cdot\left(x-2\right)\\8\cdot\left(x-2\right) & =\left(\frac{8\cdot\left(x+2\right)}{x-2}+\frac{24\cdot\left(x+2\right)}{-6\cdot\left(x-2\right)}\right)\cdot\left(x-2\right)\\8\cdot\left(x-2\right) & =\left(\frac{8\cdot\left(x+2\right)\cdot\left(x-2\right)}{x-2}+\frac{24\cdot\left(x+2\right)\cdot\left(x-2\right)}{-6\cdot\left(x-2\right)}\right)\\8\cdot\left(x-2\right) & =8\cdot\left(x+2\right)+\frac{24\cdot\left(x+2\right)}{-6}\\8\cdot\left(x-2\right) & =8\cdot\left(x+2\right)-4\cdot\left(x+2\right)\end{aligned}\)

Answer 3

8/(x + 2) = 8/(x - 2) + 24/(12 - 6·x)

8/(x + 2) = 8/(x - 2) - 24/(6·(x - 2))

8·6/(x + 2) = 8·6/(x - 2) - 24/(x - 2)

8·6 = 8·6·(x + 2)/(x - 2) - 24·(x + 2)/(x - 2)

8·6·(x - 2) = 8·6·(x + 2) - 24·(x + 2)

48·(x - 2) = 48·(x + 2) - 24·(x + 2)

2·(x - 2) = 2·(x + 2) - (x + 2)

2·x - 4 = 2·x + 4 - x - 2

- 4 = 4 - x - 2

x - 4 = 4 - 2

x - 4 = 2

x = 2 + 4

x = 6

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Warum nicht 24/6 kürzen?

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Das wäre in der Tat etwas schlauer gewesen.

Letztendlich lernt der Fragesteller eventuell dass es egal ist ob man einen kürzeren oder längeren Weg nimmt. Wichtig ist das man am richtigen Ort am Ende landet.

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Ok Danke. Jetzt weiss ich wie die Aufgabe gerechnet wird. Ich kopier die Aufgabe mal hier rein. Das müsste jetzt so richtig sein, nehme ich mal an. Für die unteren Zeilen wird dann kein Bruchstrich mehr gebraucht oder.

  8            8              24       
--------  =  --------  +  -----------
x + 2      x - 2          12 – 6x   

  8            8              24       
--------  =  --------  -  -------------
(x + 2)      (x – 2)    6 ( x – 2 )   

  8*6          8*6          24       
--------  =  --------  -  -------------
(x + 2)    (x – 2)    6 ( x – 2 )   

          8*6          (x – 2) - 24 * (x + 2) 
8*6 = --------  -  -------------------------
        (x + 2)        (x – 2)       

           
8·6·(x - 2) = 8·6·(x + 2) - 24·(x + 2)
48·(x - 2) = 48·(x + 2) - 24·(x + 2)
2·(x - 2) = 2·(x + 2) - (x + 2)
2·x - 4 = 2·x + 4 - x - 2
- 4 = 4 - x - 2
x - 4 = 4 - 2
x - 4 = 2

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Nur eine Verständnisfrage für mich:

Wieso wird aus dem Plus zwischen 8/(x - 2) + 24/(12 - 6·x) auf einmal ein Minus?

8/(x - 2) - 24/(6·(x - 2))

Danke :)

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Im Nenner wurden minuend und subtrahend vertauscht. Vorher stand da 12-6x. In der nächsten Zeile steht 6x-12. Das ist das gleiche wie oben, wenn man ein Minus ausklammert. Dieses Minus wurde verwendet um aus dem plus zwischen  den brüchen ein Minus zu machen.

Answer 4

24/(12-6x)=-4/(x-2)

Dann ist die rechte Seite 4/(x-2)

Überkreuz multiplizieren

8(x-2)=4(x+2)

Ausmultipliziern und nach x auflösen schaffst du allein.