Lineare unabhängigkeit von Matrizen

Question

Hallo

Gegeben A₁ und A₂

$$ A_1 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$

$$A_2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

Zeige, dass {A1,A2} linear unabhängig sind.

1.) Was ist mit der Schreibweise gemeint? A1 + A2 linear unabhängig oder A1 von A2 linear unabhängig?

2.) Wie geht man hierbei genau vor? Schaut man die Spalten an, oder die Zeilen?

3.) Wie bestimmt man es konkret, ohne Gaussverfahren  und determinanten?  Beides hatten wir noch nicht.

Answer 1

 

die Matrizen sind hier Elemente eines Vektorraums, also "Vektoren".

Eine Menge von 2 Vektoren ist genau dann linear abhängig, wenn die Vektoren Vielfache voneinander sind.

Bei  { A1 , A2 }  ist das offensichtlich nicht der Fall, deshalb ist die Menge linear unabhängig.

Gruß Wolfgang

Comments

Hallo Wolfgang, danke für die Antwort

und wie geht man mathematisch vor, um das zu zeigen? Ich verstehe nicht exakt, wie ich die matrizen behandeln soll, ohne die determinante zu benutzen?

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Eine Matrix wird mit einer Zahl multipliziert, indem man jedes Matrixelement mit dieser Zahl multipliziert.

Bei  A₂ =  r  · A₁   müsste diese Zahl  wegen der  2. Zeile  r = 1  sein.  Diese passt aber in der 1. Zeile nicht.