Hallo Hannes,
Du schreibst: "... jedoch werd ich aus den anderen Fragen und Antworten nicht schlau .." - Ok, dann versuche ich es mal:
Die Kosten \(C\) für das Unternehmen setzen sich zusammen aus den Kapital- und den Arbeitskosten. Der Preis für eine Einheit Kapital ist \(p_K=0,3\) und der Preis für eine Einheit Arbeit ist \(p_L=12\). Folglich addieren sich Kapital und Arbeitskosten zu
$$C(K,L) = p_K \cdot K + p_L \cdot L$$
Aus der Sicht einer Optimierung ist dies die Hauptbedingung. Diese Funktion \(C\) gilt es zu minimieren. Die Nebenbedingung \(N\) ist durch die geplante Produktionsmenge von 240ME und der Produktionsfunktion festgelegt. Es gilt der Zusammenhang:
$$F(K,L) = K^{0,6} + L = 240 \quad \Rightarrow \space N(K,L) = K^{0,6} + L - 240 = 0$$
Das kann man mit Lagrange lösen - dazu stellt man die Lagrangefunktion \(\Lambda\) auf. Allgemein gilt
$$\Lambda (K,L, \lambda) = C(K,L) + \lambda(N(K,L))$$
also hier
$$\Lambda (K,L, \lambda) = p_K \cdot K + p_L \cdot L + \lambda(K^{0,6} + L - 240)$$
und das leitet man nach den drei Unbekannten \(K\) , \(L\) und \(\lambda\) ab und setzt diese zu \(0\). Die Ableitung nach \(\lambda\) ist wieder die Nebenbedingung.
$$\frac{\partial \Lambda}{ \partial K} = p_K + \lambda \cdot 0,6 K^{-0,4} = 0$$
$$\frac{\partial \Lambda}{ \partial L} = p_L + \lambda = 0$$
aus der zweiten Gleichung folgt \(\lambda=-p_L\). Einsetzen in die erste gibt
$$p_K - p_L \cdot 0,6 K ^{-0,4} = 0 \quad \Rightarrow K^{-0,4} = \frac{p_K}{p_L \cdot 0,6}$$
$$\Rightarrow \space K = \left( \frac{p_K}{p_L \cdot 0,6}\right)^{\frac{1}{-0,4}}=\left( \frac{p_L \cdot 0,6}{p_K}\right)^{\frac{5}{2}} \approx 2821,8$$
Der Faktor \(L\) folgt nun aus der Produktionsgleichung
$$F(K,L)=K^{0,6} + L = 240 \quad \Rightarrow L = 240 - K^{0,6} \approx 122,4$$
(rechne bitte nach!) Falls Fragen offen sind, nur heraus damit.
Gruß Werner
Edit: korrigiert 540 -> 240
