Determinante einer n × n Matrix mit vielen Nullen, Aussage beweisen

Question

Folgende Aufgabe: (das soll eine große Matrix zu dem Schema für die n x n Matrix nur hab ich das nicht besser hinbekommen)



$$ Sei\quad A \in{ M }_{ nn }(ℝ), \quad a,b \in ℝ \\ \\ Mit\quad A= \begin{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & a & 0\quad ... \\ b & 0 & a\quad ... \\ 0 & b & 0\quad ... \\ .. & .. & .. \end{pmatrix} & \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ .. & .. & .. \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\quad ... \\ 0 & 0 & 0\quad ... \\ 0 & 0 & 0\quad ... \end{pmatrix} & \begin{pmatrix} 0 & a & 0 \\ b & 0 & a \\ 0 & b & 0 \end{pmatrix} \end{pmatrix}  \\ \\ Zeigen\quad sie\quad dass\quad gilt:\\ \\ det(A)={ \begin{pmatrix} { \left( -ab \right)  }^{ \frac { n }{ 2 }  }\quad ,\quad falls\quad n\quad gerade \\ \quad \quad \quad \quad 0\quad \quad \quad \quad ,\quad falls\quad n\quad ungerade \end{pmatrix}}  $$

$$\\ Induktion\quad nach\quad n:\\ \\Sei\quad A={ A }_{ n }\\ \\ n\in 2k ,k\in { N }\\ \\ IA\quad \\ \\ det \begin{pmatrix} 0 & a \\ b & 0 \end{pmatrix} =-ab\quad \\ \\ IV\\ \\ Für\quad ein\quad n\in 2k , k\in { N }_{ 0 }\quad ist\quad die\quad Aussage\quad für\quad { A }_{ n }\quad erfüllt.\\ \\ IB\quad Die\quad Aussage\quad soll\quad gelten\quad für\quad { A }_{ n+1 } \quad , n+1\quad \in 2k \quad, k \in { N }_{ 0 }\quad \\mit\quad { det(A }_{ n+1 })={ \left( -ab \right)  }^{ \frac { n }{ 2 } +\frac { 2 }{ 2 }  } \\$$

$$ IS\quad \\ \\ Entwickeln\quad nach\quad der\quad ersten\quad Zeile:\\\\ det({ A }_{ n+1 })= (-1)^{ 1 + 2 }a*det \begin{pmatrix} \begin{pmatrix} b & a & 0\quad ... \\ 0 & 0 & a\quad ... \\ 0 & b & 0\quad \quad \quad  \\ 0 & 0 & b\quad ... \\ .. & .. & .. \end{pmatrix} & \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ .. & .. & .. \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\quad ... \\ 0 & 0 & 0\quad ... \\ 0 & 0 & 0\quad ... \end{pmatrix} & \begin{pmatrix} 0 & a & 0 \\ b & 0 & a \\ 0 & b & 0 \end{pmatrix} \end{pmatrix} \\ \\ \\ Entwickeln\quad nach\quad der\quad 1.\quad Spalte:\\ \\ det \begin{pmatrix} \begin{pmatrix} b & a & 0\quad ... \\ 0 & 0 & a\quad ... \\ 0 & b & 0\quad \quad \quad  \\ 0 & 0 & b\quad ... \\ .. & .. & .. \end{pmatrix} & \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ .. & .. & .. \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\quad ... \\ 0 & 0 & 0\quad ... \\ 0 & 0 & 0\quad ... \end{pmatrix} & \begin{pmatrix} 0 & a & 0 \\ b & 0 & a \\ 0 & b & 0 \end{pmatrix} \end{pmatrix}  \quad =(-1)^{ 1+1 }b*det\begin{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & a & 0\quad ... \\ b & 0 & a\quad ... \\ 0 & b & 0\quad ... \\ .. & .. & .. \end{pmatrix} & \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ .. & .. & .. \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\quad ... \\ 0 & 0 & 0\quad ... \\ 0 & 0 & 0\quad ... \end{pmatrix} & \begin{pmatrix} 0 & a & 0 \\ b & 0 & a \\ 0 & b & 0 \end{pmatrix} \end{pmatrix} \\ :=(-1)^{1 + 1}b*{ A }_{ n }\\ \\$$

Und es kommt heraus $$det({ A }_{ n+1 })=(-a)*(b)*det({ A }_{ n })\quad \quad \\$$

Sind da Fehler drin und ist es ok wenn man das mit Induktion beweist? Zeilenumformungen würden ja auch zum Ergebnis führen.
Kann man auch IA bei n = 2 starten und dann zu A_n+2  eine Aussage machen, weil ich meine Schreibweise nicht gut finde oder kann man das sonst noch anders schreiben?

Comments

es soll heißen: $$:=\quad (-1)^{ 1+1 }b*{ det(A }_{ n })$$

Answer 1

Deine Rekursionsformel muesste schon \(\det A_{n+2}=-ab\cdot\det A_n\) lauten. Entsprechend brauchst Du auch zwei Anfaenge.

Comments

Danke das hilft mir sehr. ist das jetzt besser für den Teil der geradzahligen n?

$$ Induktion\quad nach\quad n:\\ \\Sei\quad A={ A }_{ n }\\ \\ n\in 2k\quad ,\quad k\in N\\ \\$$ $$IA\quad \\ \\ n=2\\ \\ det\begin{pmatrix} 0 & a \\ b & 0 \end{pmatrix}={ (-ab) }^{ \frac { 2 }{ 2 }  }\\ \\ n=4\\ det\begin{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & a \\ b & 0 \end{pmatrix} & \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ a & 0 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 0 & b \\ 0 & 0 \end{pmatrix} & \begin{pmatrix} 0 & a \\ b & 0 \end{pmatrix} \end{pmatrix}=(-1)^{ 2+ 1 }a*det \begin{pmatrix} b & a & 0 \\ 0 & 0 & a \\ 0 & b & 0 \end{pmatrix} \\ =(-1)^{ 1+1 }b*det\begin{pmatrix} 0 & a \\ b & 0 \end{pmatrix}  =(-a)b*(-ab)={ (-ab) }^{ \frac { 4 }{ 2 }  }\\ \\$$

$$IV\\ \\ Es\quad gibt\quad ein \quad n \quad und \quad für \quad dieses \quad n+2 \quad das\quad die\quad Aussage\quad für\quad { A }_{ n }\quad erfüllt.\\ \\ IB\quad Gilt\quad nun\quad die\quad Aussage\quad für\quad { A }_{ n },\quad so\quad muss\quad sie\quad auch\quad für\quad { A }_{ n+2 }\quad gelten:\\ \\ { det(A }_{ n+2 })={  \left( -ab \right)  }^{ \frac { (n +2) }{ 2 }  }={ \left( -ab \right)  }^{ \frac { n }{ 2 } +\frac { 2 }{ 2 }  }=(-ab){ \left( -ab \right)  }^{ \frac { n }{ 2 }  }\\$$
$$\\ IS\quad \\ \\ det({ A }_{ n+2 })=(-1)^{ 2+1 }a*det \begin{pmatrix} \begin{pmatrix} b & a & 0\quad ... \\ 0 & 0 & a\quad ... \\ 0 & b & 0\quad \quad \quad  \\ 0 & 0 & b\quad ... \\ .. & .. & .. \end{pmatrix} & \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ .. & .. & .. \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\quad ... \\ 0 & 0 & 0\quad ... \\ 0 & 0 & 0\quad ... \end{pmatrix} & \begin{pmatrix} 0 & a & 0 \\ b & 0 & a \\ 0 & b & 0 \end{pmatrix} \end{pmatrix}\quad \left[ entwickelt\quad nach\quad der\quad ersten\quad Zeile \right] \\ \\ \\ det\begin{pmatrix} \begin{pmatrix} b & a & 0\quad ... \\ 0 & 0 & a\quad ... \\ 0 & b & 0\quad \quad \quad  \\ 0 & 0 & b\quad ... \\ .. & .. & .. \end{pmatrix} & \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ .. & .. & .. \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\quad ... \\ 0 & 0 & 0\quad ... \\ 0 & 0 & 0\quad ... \end{pmatrix} & \begin{pmatrix} 0 & a & 0 \\ b & 0 & a \\ 0 & b & 0 \end{pmatrix} \end{pmatrix}  \\  =(-1)^{ 1 +1 }b*det \begin{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & a & 0\quad ... \\ b & 0 & a\quad ... \\ 0 & b & 0\quad ... \\ .. & .. & .. \end{pmatrix} & \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ .. & .. & .. \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\quad ... \\ 0 & 0 & 0\quad ... \\ 0 & 0 & 0\quad ... \end{pmatrix} & \begin{pmatrix} 0 & a & 0 \\ b & 0 & a \\ 0 & b & 0 \end{pmatrix} \end{pmatrix} \quad \left[ entwickelt\quad nach\quad der\quad ersten\quad Spalte \right] \\ . \\ . \\ det({ A }_{ n+2 })=(-a)*(b)*det({ A }_{ n })=(-ab){ (-ab) }^{ \frac { n }{ 2 }  }={ (-ab) }^{ \frac { (n+2) }{ 2 }  }\quad \quad  $$

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Das hilft dir beim Beweis auch nicht speziell. Dennoch mal ein Begriff für solche Matrizen: https://de.wikipedia.org/wiki/Blockmatrix#Blockdiagonalmatrix

Dein Beweis sieht beeindruckend aus.

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Das ist eigentlich eine Bandmatrix. Auf der Diagonalen oberhalb der Haupdiagonalen stehen die a's und auf der unterhalb die b's.

Ja, also die Rechnung war doch von Anfang an im Prinzip richtig. Indudktion braucht man nicht direkt. Du hast die Rekursionsformel \(\det A_n=-ab\cdot\det A_{n-2}\) gewonnen. Die wendest Du einfach so oft an, bis Du bei \(\det A_2=-ab\) oder bei \(\det A_1=0\) ankommst. Zumindest dann, wenn Du selber auf die explizite Formel kommen willst. Da sie schon angegeben ist, brauchst Du nur noch zu verifizieren, dass sie Deiner gefundenen Rekusionsformel genuegt und die Anfangswerte stimmen.