Folgende Aufgabe: (das soll eine große Matrix zu dem Schema für die n x n Matrix nur hab ich das nicht besser hinbekommen)
$$ Sei\quad A \in{ M }_{ nn }(ℝ), \quad a,b \in ℝ \\ \\ Mit\quad A= \begin{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & a & 0\quad ... \\ b & 0 & a\quad ... \\ 0 & b & 0\quad ... \\ .. & .. & .. \end{pmatrix} & \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ .. & .. & .. \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\quad ... \\ 0 & 0 & 0\quad ... \\ 0 & 0 & 0\quad ... \end{pmatrix} & \begin{pmatrix} 0 & a & 0 \\ b & 0 & a \\ 0 & b & 0 \end{pmatrix} \end{pmatrix} \\ \\ Zeigen\quad sie\quad dass\quad gilt:\\ \\ det(A)={ \begin{pmatrix} { \left( -ab \right) }^{ \frac { n }{ 2 } }\quad ,\quad falls\quad n\quad gerade \\ \quad \quad \quad \quad 0\quad \quad \quad \quad ,\quad falls\quad n\quad ungerade \end{pmatrix}} $$
$$\\ Induktion\quad nach\quad n:\\ \\Sei\quad A={ A }_{ n }\\ \\ n\in 2k ,k\in { N }\\ \\ IA\quad \\ \\ det \begin{pmatrix} 0 & a \\ b & 0 \end{pmatrix} =-ab\quad \\ \\ IV\\ \\ Für\quad ein\quad n\in 2k , k\in { N }_{ 0 }\quad ist\quad die\quad Aussage\quad für\quad { A }_{ n }\quad erfüllt.\\ \\ IB\quad Die\quad Aussage\quad soll\quad gelten\quad für\quad { A }_{ n+1 } \quad , n+1\quad \in 2k \quad, k \in { N }_{ 0 }\quad \\mit\quad { det(A }_{ n+1 })={ \left( -ab \right) }^{ \frac { n }{ 2 } +\frac { 2 }{ 2 } } \\$$
$$ IS\quad \\ \\ Entwickeln\quad nach\quad der\quad ersten\quad Zeile:\\\\ det({ A }_{ n+1 })= (-1)^{ 1 + 2 }a*det \begin{pmatrix} \begin{pmatrix} b & a & 0\quad ... \\ 0 & 0 & a\quad ... \\ 0 & b & 0\quad \quad \quad \\ 0 & 0 & b\quad ... \\ .. & .. & .. \end{pmatrix} & \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ .. & .. & .. \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\quad ... \\ 0 & 0 & 0\quad ... \\ 0 & 0 & 0\quad ... \end{pmatrix} & \begin{pmatrix} 0 & a & 0 \\ b & 0 & a \\ 0 & b & 0 \end{pmatrix} \end{pmatrix} \\ \\ \\ Entwickeln\quad nach\quad der\quad 1.\quad Spalte:\\ \\ det \begin{pmatrix} \begin{pmatrix} b & a & 0\quad ... \\ 0 & 0 & a\quad ... \\ 0 & b & 0\quad \quad \quad \\ 0 & 0 & b\quad ... \\ .. & .. & .. \end{pmatrix} & \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ .. & .. & .. \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\quad ... \\ 0 & 0 & 0\quad ... \\ 0 & 0 & 0\quad ... \end{pmatrix} & \begin{pmatrix} 0 & a & 0 \\ b & 0 & a \\ 0 & b & 0 \end{pmatrix} \end{pmatrix} \quad =(-1)^{ 1+1 }b*det\begin{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & a & 0\quad ... \\ b & 0 & a\quad ... \\ 0 & b & 0\quad ... \\ .. & .. & .. \end{pmatrix} & \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ .. & .. & .. \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\quad ... \\ 0 & 0 & 0\quad ... \\ 0 & 0 & 0\quad ... \end{pmatrix} & \begin{pmatrix} 0 & a & 0 \\ b & 0 & a \\ 0 & b & 0 \end{pmatrix} \end{pmatrix} \\ :=(-1)^{1 + 1}b*{ A }_{ n }\\ \\$$
Und es kommt heraus $$det({ A }_{ n+1 })=(-a)*(b)*det({ A }_{ n })\quad \quad \\$$
Sind da Fehler drin und ist es ok wenn man das mit Induktion beweist? Zeilenumformungen würden ja auch zum Ergebnis führen.
Kann man auch IA bei n = 2 starten und dann zu An+2 eine Aussage machen, weil ich meine Schreibweise nicht gut finde oder kann man das sonst noch anders schreiben?