x + 2 y = 5
<=> y = ( - 1 / 2 ) x + 2,5
2 x - 3 y = 3
<=> y = ( 2 / 3 ) x - 1
Diese beiden Geraden verlaufen aufgrund ihrer verschiedenen Steigungen nicht parallel und schneiden sich daher in genau einem Punkt.
Die dritte Gerade x - y + a = 0 <=> y = x + a bildet mit den beiden ersten genau dann kein Dreieck, wenn sie
1) zur ersten Geraden parallel verläuft oder
2) zur zweiten Geraden parallel verläuft oder
3) durch den Schnittpunkt der beiden ersten Geraden geht.
Da die Steigung der dritten Geraden ( m = 1 ) nicht von a abhängt, also nicht veränderlich ist, und sich von den Steigungen der beiden anderen Geraden unterscheidet, fallen die ersten beiden Möglichkeiten weg. Die dritte Gerade bildet also genau dann kein Dreieck mit den beiden anderen Geraden, wenn sie durch deren Schnittpunkt geht.
Bestimme also den Schnittpunkt der beiden ersten Geraden:
( - 1 / 2 ) x + 2,5 = ( 2 / 3 ) x - 1
<=> ( 7 / 6 ) x = 3,5
<=> x = 3
=> y = ( 2 / 3 ) x - 1
<=> y = 1
Der Schnittpunt der beiden ersten Geraden ist also S ( 3 | 1 )
Bestimme nun in der dritten Gleichung y = x + a den Wert der Variablen a so, dass gilt:
1 = 3 + a
<=> a = - 2
Also: Nur für a = - 2 bilden die drei gegebenen Geraden kein Dreieck.
Hier ein Schaubild der drei Geraden. Die gelbe Gerade ist die dritte Gerade mit a = - 2 . Verändert man den Parameter a, dann wird diese Gerade parallel zur y-Achse verschoben,"rutscht" dadurch aus dem gemeinsamen Schnittpunkt der drei Geraden heraus, heraus und bildet mit den beiden anderen Geraden ein Dreieck.
https://www.wolframalpha.com/input/?i=-.5x%2B2.5+%2C+%282%2F3%29x-1+%2C+x-2++from0to10
