Wie bestimme ich das Integral m = ∫ p • dV mit dV = A • dz? Dichte der Luft nimmt nach oben hin ab,..

Question

ich habe ein paar Probleme mit dieser Aufgabe:

Die Dichte der Luft nimmt bekanntlich nach oben hin ab, bis sie bei einer Höhe von 40 km noch ca. 1% ihres Wertes am Boden erreicht. Betrachte eine (unendlich hohe) Luftsäule mit einer Fläche A von 1m² in einer isothermen Atmosphäre von 0°C.

Berechne die Masse der Luftsäule durch Integration der Dichte p! Die Masse kann mit Hilfe von Gleichung (1) berechnet werden. 

m = ∫ p • dV mit dV = A • dz

Die Funktion p(z) in Gleichung 2 beschreibt dabei die exponentielle Abnahme der Dichte mit p_{0 =} 1,222 kg/m³ und Skalenhöhe

H = 7,8 km: p(z) = p₀ • e^-z/H  . Mein Problem mit der Aufgabe ist, dass ich nicht weiß wofür die meisten Zeichen in der Formel stehen. ( P=Dichte, z= Höhe, H= Skalenhöhe aber wofür stehen dV, A und dz? p(z) = p₀ • e^-z/H Soll hier e die eulersche Zahl sein? Zudem frage ich mich, welche Integralsgrenzen/und welche Stammfunktion verwendet werden soll. 

Ich freue mich über jeden Ratschlag/möglichst keine direkten Lösungen, sondern lieber simple und gut nachvollziehbare Tipps MfG sAviOr

Comments

Wenn man sich einfach dumm stellt und nimmt, was da steht, hat man:

$$\int\limits_{\text{Saeule}}\!\rho\,dV=A\cdot\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\int\limits_{\text{Saeulenhoehe}}\!\!\!\!\!\!\!\rho\,dz$$

Das ist auch richtig. Was verstehst Du denn bisher von Integralrechnung?

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Naja, ich verstehe die ganzen Grundlagen und kann einfache Integralrechnungen schnell lösen, aber mit der Aufgabe tue ich mich schwer, weil ich ein paar der Bezeichnungen nicht kenne und die Aufgabe auch sonst ganz anders ist, als die anderen Integralrechnungen die ich bis jetzt gelöst habe. Wofür steht eigentlich dV und dz?

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\(dV\) ist ein infinitesimales Volumenelement der Saeule und \(dz\) ein infinitesimales Hoehenelement. (Wenn Du es anschaulich willst.)

Wo hast Du denn die Aufgabe her?

Answer 1

 ρ ( z ) =  ρ0 * e^{-z/H};

Es handelt sich bei der Formel um eine
Exponentialfunktion zur Berechnung der Dichte.
ρ0 ist die Dichte bei 0 Meter ( Meereshöhe )
ρ ( 0 ) = ρ0 = 1.222 kg/m^3

( 0 m | 1.222 )
Dichte in 40000 m Höhe in % der Anfangsdichte
0.01 * 1.222 = 0.01222  kg / m^3
( 40000 m | 0.01222 )

 ρ ( 40000 ) =  p0 * e^{-z/H};
0.01222 = 1.222 * e^{-40000/H}
nach H umstellen
0.01 =  e^{-40000/H}  | ln
ln ( 0.01 ) = -40000/H
H = 8686

 ρ ( z ) =  1.222 * e^{-z/8686};

Probe
 ρ ( 40000 ) =  1.222 * e^{-40000/8686};
 ρ ( 40000 ) = 0.0122 kg / m^3

Hier die Skizze

Soviel ersteinmal.
Bitte wieder melden.

Comments

Ich gehe jetzt so vor
Ich berechne die Fläche unterhalb der Kurve.
Stammfunktion bilden
ρ ( z ) =  1.222 * e^-z/8686;
S ( z ) = 1.222 * -8686 * e^-z/8686
Integralfunktion aufstellen
[ S ( z ) ] zwischen 0 und unendlich
1.222 * ( -8686 * e^{-∞/8686} - ( -8686 * e^{-0/8686}) )
1.222 * ( 0 + 8686 )
10614 kg/(m^3)
Es soll für eine Grundfläche von 1 m^2
die Masse berechnet werden
10614 kg/(m^3) * 1 m^2
10614 kg

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Danke für die Antwort erstmal hat mir ungemein weitergeholfen. Bis hin zur Probe habe ich alles einwandfrei verstanden( ich finde du erklärst deine Gedankengänge auch klar und deutlich). Nur habe ich eine Frage zur der von dir aufgestellten Stammfunktion: S ( z ) = 1.222 * -8686 * e^-z/8686 Wie bist du bei der Stammfunktion auf die -8686 gekommen? Man muss ja "aufleiten" bei der Stammfunktion und ich verstehe nicht ganz wie du auf diese Stammfunktion gekommen bist, aber der Rest der Rechnung finde ich klar und verständlich. MfG sAviOr.

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∫ e^-z/8686 dz

ersetzen
x = -z / 8686
x ´ = - 1 / 8686 = dx / dz
dz = dx * - 8686
∫ e^x  dx * -8686
-8686  ∫ e^x  dx
-8686  * e^x

Rückersetzen
-8686 * e^{-z/8686}

In diesem Fall vielleicht einfacher
Eine e-Funktion hat als Stammfunktion
irgendwie immer eine e-Funktion.
Ich leite probeweise einmal ab.

( e^-z/8686 ) ´
- 1/ 8686 * e^{-z/8686}

um auf 1 *  e^{-z/8686} zu kommen
muß mit - 8686 malgenommen
werden.
-8686 * ( - 1/ 8686 ) * e^{-z/8686}

Die Stammfunktion ist also
-8686 * e^{-z/8686}

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Hey Danke, perfekt erklärt!!

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Gern geschehen.
Falls du weitere Fragen hast dann stelle
sie wieder ein.

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Eine allerletzte Frage habe ich doch noch.

[ S ( z ) ] zwischen 0 und unendlich 
1.222 * ( -8686 * e^-∞/8686 - ( -8686 * e^-0/8686) ) 
1.222 * ( 0 + 8686 )  

Hast du substituiert um auf 0+8686 zu kommen? Also mit lim r -> ∞ oder kann man einfach ganz simpel denken im Sinne von -(-8686) = 8686 => 1,222 * (0 + 8686)

MfG sAviOr.

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( -8686 * e^-∞/8686 - ( -8686 * e^-0/8686) )

e ^{-∞}   =  0
e ^{-∞/8686}   =  0
-8686 * e ^{-∞/8686}   =  0
-----------------------------------

e^-0/8686 = e ^{0} = 1
- 8686 * e^-0/8686 = - 8686 * 1 = - 8686
--------------------------------------

-8686 * e^-∞/8686 - ( -8686 * e^-0/8686) 
( 0 - ( - 8686 )
8686

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Danke für deine Hilfe, jetzt habe ich es endlich verstanden. MfG sAviOr

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Du lernst in der Mathematik am
Meisten durch Aufgabenrechnen.

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Das und das Verstehen von mathematischen Definitionen.

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Neben der Mathematik gehörte zur
Beantwortung dieser Aufgabe auch
physikalischen Wissen.
Bestimmt ebensoviel Physik wie
Mathematik.