Gemeinsame Punkte der Graphen einer Funktionenschar

Question

da ich leider keinen Ansatz für diese Aufgabe finde, versuche ich es mal hier  Gegeben ist die Funktionenschar f_a mit f_a(x)= -x^3 + ax^2 - x - ax   (a ∈ ℝ⁺).
a) Bestimmen Sie die gemeinsamen Punkte aller Graphen der Funktionenschar.
b) Zeigen Sie rechnerisch, dass die Graphen der Funktion für alle Werte von a einen Wendepunkt haben. Bestimmen Sie die Koordinaten des Wendepunktes und die zugehörige Ortskurve.

Answer 1

Hallo mala,

f_a(x)  =  -x³ + ax² - x - ax  

a)

Schnittstellen zweier verschiedener Funktionen der Schar:

-x³ + ax²  x - ax  = -x³ + bx² - x - bx    | + x³ | + x

ax² - ax  = bx² - bx     | - bx²  | + ax

ax² - bx²  =  ax - bx

(a-b) * x² = (a-b) * x  

x² = x   ⇔  x² - x = 0   ⇔  x * (x-1) = 0   ⇔  x = 0  oder x = 1

f_a(0) = 0   →   S₁ (0|0)

f_a(1) = - 1 + a - 1 + a  = - 2     →  S₂(1| -2)    

b)

f_a '(x) = - 3·x^2 + 2·a·x - a - 1

f_a"(x)  =  6x - 2a  = 0   ⇔  x = a/3           mit Vorzeichenwechsel von f_a"(x) 

f_a( a/3) )  =  2·a³/27 - a²/3 - a/3   →   Wendepunkte  W_a( a/3 | 2·a³/27 - a²/3 - a/3 ) 

Ortskurve 

x = a/3  →  a = 3x

y  =  2·a³/27 - a²/3 - a/3  =  2·x³ - 3·x² - x

Gruß Wolfgang