Erklärung einer Fallunterscheidung mit Betragszeichen

Question

Folgende Fallunterscheidung

Ι3x-6Ι ≤ x+2

folgende Lösung habe ich für die Fallunterscheidung :

x<2 , x≥2

könnte mir jemand  erklären , was die Logik hinter dieser Fallunterscheidung ist

Answer 1

Allgemein
Wichtig ist wann die Betragsfunktion 0 ist.
Für über oder unter null ( positiv oder negativ )
bedeutet die Betragsfunktion

term > 0 : | term |  = term
term < 0 : | term | = term * (-1)

Vorgehensweise :
Nullpunkt der Betragsfunktion feststellen

3x - 6 ≥ 0
3x ≥ 6
x ≥ 2

1.Fall  x ≥ 2
Es gilt
 ( 3x - 6 ) ≤ x + 2
2x  ≤ 8
x ≤ 4

Zusammen mit der Eingangsvoraussetzung
( x ≥ 2 ) und ( x ≤ 4 )
2 ≤ x ≤ 4

2.Fall  x < 2
Es gilt
 ( 3x - 6 ) * ( - 1 ) ≤ x + 2
-3x + 6  ≤ x + 2
- 4x  ≤ -4 | * -1
4x ≥ 4
x ≥ 1

Zusammen mit der Eingangsvoraussetzung
( x < 2 ) und ( x ≥ 1 )
1 ≤ x < 2

Beide Fälle
( 2 ≤ x ≤ 4 ) und ( 1 ≤ x < 2 )
1 ≤ x ≤ 4

Answer 2

Ι3x-6Ι wird unterschiedlich berechnet, je nach dem, ob 3x-6 ≥ 0 ist oder 3x-6 < 0 ist, nämlich:

• Falls 3x-6 ≥ 0 ist, dann ist |3x-6| = 3x-6.
• Falls 3x-6 < 0 ist, dann ist |3x-6| = -(3x-6).

Es ist 3x-6 ≥ 0 genau dann wenn x ≥ 2 ist und 3x-6 < 0 genau dann wenn x < 2 ist.

Answer 3

Bei \(x=2\) wechselt das Betragsargument sein Vorzeichen.