Handelt es sich um ein faires Spiel und wie müsste der maximale Gewinn aussehen?

Question

Huhu habe folgende Aufgabe: Man darf einer Urne mit zwei roten, vier schwarzen und vier weißen Kugeln zweimal ziehen. Die Kugel des ersten Zuges darf nicht wieder in die Urne zurückgelegt werden. Der Einsatz für das Spiel beträgt 1€. Wenn man zwei Kugeln gleicher Farbe zieht, wird 1€ ausgezahlt, bei einer roten Kugel werden 2€ ausgezahlt und wenn beide gezogenen Kugeln rot sind erhält man 5€.Das Glücksspiel wurde 100-mal durchgeführt. Dabei ergaben sich die absoluten Häufigkeiten der folgenden Tabelle.

Gewinn in €                     -1        0        1       4

Absolute Häufigkeit       50%    26%    21%   3%

a)Stellen Sie eine Wahrscheinlichkeitsverteilung mit der Zufallsgröße auf.

b)Erläutern Sie, ob es sich um ein faires Spiel handelt.

c) Berechnen Sie, wie groß der maximale Gewinn sein müsste, damit es sich um ein faires Spiel handelt.

zu a) aus Baumdiagramm:   -1         0        1       4

                                           16/45  12/45  16/45  1/45

b) nein, weil der erwartungswert ungleich 0 ist (E(X)=-1•16/45+1•16/45+4•1/45=4/45 ≈0,088)?

c) hier komm ich leider nicht weiter

Comments

Wenn bei den Häufigkeiten Prozentzahlen stehen, dann handelt es sich um relative und nicht um absolute Häufigkeiten.

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Ah ok, dann hat mein Lehrer dort wohl einen Fehler gemacht, aber die relativen häuftigkeiten hätten ja nichts mit der wahrscheinlichkeitsverteilung zu tun oder? Stelle ich dafür dann nicht einfach ein baumdiagramm auf?

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Du hast die Wahrscheinlichkeiten richtig bestimmt. Da die Rede von Wahrscheinlichkeitsverteilung ist, musst du die Wahrscheinlichkeiten aufaddieren bis 1 heraus kommt.

-1	0	1	4
16/45	28/45	44/45	1

Answer 1

Nenne den maximalen Gewinn m. Dann ist der Gewinnerwartungswert = =-1•16/45+1•16/45+m•1/45 = m/45. Wie groß muss dieser bei einem fairen Spiel sein?

Comments

Ah ok,das klingt logisch,aber wieso =m/45. Müsste es nicht =0 sein, damit es fair ist?

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Ein bisschen darfst du auch selber rechnen. Meine Antwort (verkürzt) lautete: Für den maximalen Gewinn m ist der Gewinnerwartungswert m/45.

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Also müsste der Gewinn null sein. Womit ich mich ein bisschen schwer tue bei dieser Lösung ist die Tatsache dass es ja noch einen Gewinn gibt der 1 ist. Insofern ist es ja nicht ganz richtig, dass der maximale Gewinn 0 ist. Der maximale Gewinn ist jetzt 1. Aber ich weiß auch nicht wie man da raus kommt.

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Ich habe vorausgesetzt, dass deine Tabelle (Wahrscheinlichkeiten der Gewuinne) richtig ist. Offenbar ist das aber nicht der Fall.

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wenn ich meine Wahrscheinlichkeiten in meiner Tabelle oben zusammenrechne, kommt dort 1 heraus.

wenn ich also -1•16/45+1•16/45+m•1/45 =0 setze, kommt für m 1 heraus. Das bedeutet also, dass man für alle Kugeln mit gleicher Farbe nur 1 € gewinnen sollte oder?

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Ich denke da hast du dich verrechnet. Bei dem erwartungswert kommt nur dann null raus wenn du m=0 setzt.

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Kommentar → Antwort

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Achso, jetzt hab ich auch die Gleichung von Roland verstanden. Die Gleichung müsste ja so lauten:

 -1•16/45+1•16/45+(m-1) •1/45 =0 und dann kommt für m 1 heraus.  

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Ja genau. Sehr gut!

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Diesen 1€ für "2-mal rot" erhielte er aber auch schon für "2-mal gleiche Farbe"

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Tja da ist aus meiner Sicht die Aufgabenstellung unklar.

Answer 2

 

Ein Problem liegt wohl darin, dass die Aufgabenstellung sich darüber ausschweigt, wie man die sich überschneidenden Auszahlungsangaben

- wenn man zwei Kugeln gleicher Farbe zieht, wird 1€ ausgezahlt, 

- wenn beide gezogenen Kugeln rot sind erhält man 5€

behandeln soll.

Da keine Angabe "gleichartige Kugeln" vorgegeben ist,

könnte man auch von der W.-Verteilung

   -1           0            1           4

 0,50     0,26%     0,21%    0,03

ausgehen

Dann ergibt sich für "fair"  (m = maximaler Gewinn)

-0.5 + 0.21 + m · 0.03  = 0.03·m - 0.29 = 0

→  m = 29/3

Gruß Wolfgang

Comments

Hallo Wolfgang,

du bist doch jetzt davon ausgegangen, dass die Tabelle absolute Häufigkeiten anzeigt oder? obwohl dort Prozentwerte sind.

muss ich meine W.-verteilung nicht trotzdem über ein Baumdiagramm machen? 

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Nein, relative Häufigkeiten.  50% = 0,05.

muss ich meine W.-verteilung nicht trotzdem über ein Baumdiagramm machen?  

Genau das ist nicht ganz klar, aber was sollte die Tabelle dann für einen Sinn haben?