Wie kann man mit dem Rangsatz Abbildungseigenschaften ablesen?

Question

man kann ja mit dem Rangsatz/ Dimensionssatz ablesen, ob eine Abbildung f: V -> W injektiv/ surjektiv oder bijektiv ist.

Rangsatz: dim V = dim Kern(f) + dim Bild(f)

Frage 1: Wie kann ich ablesen, ob die Abbildung injektiv, surjektiv oder bijektiv ist???

Frage 2: Wie kann ich anhand der Nullabbildung nachrechnen, dass die Dimension von V rauskommen muss, nicht die   von W???

, würde mich über eine Antwort sehr freuen!

Answer 1

Es handelt sich ja wohl um lineare Abbildungen .

Dann gilt   f injektiv <=>  Kern(f) = {0}

Also auch dim(Kern(f)) = 0

Dann sagt der Rangsatz:

dim V = 0  + dim Bild(f) = dim Bild(f)

Und für surjektiv muss ja gelten Bild(f) = W

und weil ja immer Bilf(f) ein Teilraum von W ist,

ist das  erfüllt, wenn  dim Bild(f) = dim W .

Und bijektiv eben beides:

dim V =  dim Bild(f) = dim W .

Die Nullabbildung n : V --> W ist ja definiert durch

n(v) = 0 für alle v ∈ V .

Dann wird aus dim V = dim Kern(f) + dim Bild(f)

wegen Kern(f) = V

                        dim(V) = dim (V) +    0

Comments

Vielen, vielen Dank für die Antwort! :) Das hilft mir ungemein weiter, danke.