Beweisen Sie durch Induktion, dass 2 n < n ! für alle n ≥ 4 gilt.

Question

ich habe ein Problem bei der Induktion in dieser Aufgabe.

Beweisen Sie durch Induktion, dass 2^n < n ! für alle n ≥ 4 gilt. ( Hinweis : n ! = n · ( n − 1 ) · ... · 2 · 1 ).

Induktionsanfang: Die Aussage 2^n < n ! ist wahr für n = 4, da 2^4 < 4 ! ( 16 < 24 )

Induktionsschritt: Für alle n >= 4 gilt: 2^n < n ! --> 2^{n+1} < (n+1)!

wie komme ich jetzt zum Beweis, bzw. wie kann ich die Rechnung aufstellen?

Answer 1

Induktionsanfang: n = 4

2^4 < 4!

16 < 24 --> stimmt!

Induktionsschritt: n --> n + 1

2^{n + 1} < (n + 1)!

2·2^n < n!·(n + 1)

2·n! < n!·(n + 1)

2 < n + 1

n > 1

Answer 2

2^{n+1}=2*2^{n}<2*n!<(n+1)*n!=(n+1)!