Die Frage war neulich schon mal da. Hier noch mal meine Antwort:
Sei f eine surjektive Abb von X nach P(X).
Diese Annahme wird zu einemWiderspruch geführt:
Bilde die Menge M aller a aus X, die nicht in f(a) enthalten sind.
Wegen der Surjektivität hat M ein Urbild, nenne es b.
Ist nun b ein Element von M ?
Wäre es so, dann würde nach Def. von M gelten b nicht in f(b).
Aber f(b)=M, also b nicht in M.
Andererseits folgt aus b nicht in M, dass nach Def. von M
b ein Element von M ist. etc.
Also gibt es keine surjektive Abb.