Keine surjektive Abbildung

Question

Aufgabe:

Sei \(A\) eine nichtleere Menge und sei \(B\) die Menge aller Funktionen \(f: A \rightarrow I_{2}\) wobei \(I_{2}=\{0,1\}\) Zeigen Sie: Es gibt keine surjektive Abbildung \(g: A \rightarrow B\)

Problem/Ansatz:

Habe es über einen Widerspruch probiert. Aber ehrlich gesagt verwirrt mich die Aufgabe, vor allem die Menge B.

Wäre über einen Ansatz sehr dankbar :)

Answer 1

Sei \(g: A\to B\) eine Abbildung.

Sei \(f: A\to I_2\) eine Abbildung mit \(f(a) = 1 - g(a)(a)\) für alle \(a\in A\).

Sei \(a \in A\). Ist \(f(a)\) = 1, dann ist \(g(a)(a) = 0\), also \(f\neq g(a)\).

Ist \(f(a) = 0\), dann ist \(g(a)(a) = 1\), also \(f\neq g(a)\).

Also ist \(f \notin \mathrm{Bild}(g)\). Somit ist \(g\) nicht surjektiv.