Winkel in einer Pyramide berechnen (Vektoren)

Question

Aufgabe:

Winkel in einer Pyramide:

a) Bestimmen Sie den Winkel Alpha zwischen den rot eingezeichneten Linien.

b) Bestimmen Sie den Winkel Beta zwischen den eingezeichneten Linien. Vergleichen Sie die beiden Winkel. Geht der Vergleich auch ohne Rechnung?

Problem/Ansatz:

Ich weiß leider absolut nicht wie ich hier vorgehen soll. Mir fehlt jeglicher Ansatz

Anbei ist ein Foto der Pyramide. Ich bin für jede Hilfe und Rechnung dankbar!

Text erkannt:

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Dass die beiden Winkel gleich groß sein müssen, ist aufgrund der vierseitigen Symmetrie der Pyramide eigentlich offensichtlich.

Answer 1

α und β sind gleichgroß. \( \vec{NM} \) =\( \begin{pmatrix} 2\\4\\0 \end{pmatrix} \) -\( \begin{pmatrix} 2\\0\\0 \end{pmatrix} \) =\( \begin{pmatrix} 0\\4\\0 \end{pmatrix} \) . 

\( \vec{NS} \) =\( \begin{pmatrix} 2\\2\\3 \end{pmatrix} \) -\( \begin{pmatrix} 2\\4\\0 \end{pmatrix} \) =\( \begin{pmatrix} 0\\-2\\3 \end{pmatrix} \) .

cos(α)=\( \vec{NM} \) ·\( \vec{NS} \) /(|\( \vec{NM} \)|·|\( \vec{NS} \)|).

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Und was heißt das?

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-8/(4·√13)≈0,5547

cos^-1(0,5547)≈56,3°

α=β=56,3°

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Vielen Dank für die Antwort! Ich weiß nur leider immer noch nicht, wie man darauf kommt Es wäre lieb wenn es in kleinen Schritten erklärt wird, da Mathe ganz und gar nicht meine Stärke ist und ich es so noch nicht ganz nachvollziehen kann

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Hallo Kerstin,

sollt Ihr die Winkel mittels Vektorrechnung (-> Skalarprodukt) oder rein trigonometrisch berechnen?

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Wir sollen es mittels Vektorrechnung berechnen :-)

Answer 2

Hallo Kerstin,

Wir sollen es mittels Vektorrechnung berechnen :-)

dann sollte Dir das Skalarprodukt bekannt sein. Das Skalarprodukt zweier Vektoren \(\vec a\) und \(\vec b\) ist definiert als$$\vec a \cdot \vec b = |\vec a| \cdot |\vec b| \cdot \cos(\alpha)$$wobei \(\alpha\) der Winkel zwischen den beiden Vektoren ist. Berechnet werden kann das Skalarprodukt indem man die Summe über alle Koordinatenpaare der beiden Vektoren bildet - also:$$\begin{aligned} \vec a \cdot \vec b &= \begin{pmatrix}a_x\\ a_y\\ a_z\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}b_x\\ b_y\\ b_z\end{pmatrix} \\ &= a_x \cdot b_x + a_y \cdot b_y + a_z \cdot b_z \end{aligned}$$Umgekehrt heißt das auch, dass man so den Winkel zwischen zwei Vektoren berechnen kann$$\begin{aligned} \vec a \cdot \vec b &= |\vec a| \cdot |\vec b| \cdot \cos(\alpha) \\ \implies \cos(\alpha) &= \frac{\vec a \cdot \vec b}{|\vec a| \cdot |\vec b|}\end{aligned}$$ Dazu folgendes Bild:

(klick drauf, dann öffnet sich die Szene in 3D)

Gesucht ist der Winkel zwischen dem roten Vektor \(\vec{NM}\) und dem grünen Vektor \(\vec{NS}\). Die Vektoren sind $$\vec{NM} = \begin{pmatrix}0\\ -4\\ 0\end{pmatrix}, \quad \vec{NS} =\begin{pmatrix}0\\ -2\\ 3\end{pmatrix}$$wenn Du nicht weißt, wie man auf die Koordinaten kommt, so melde Dich bitte! Daraus folgt dann$$\begin{aligned}\cos(\alpha) &= \frac{\vec{NM} \cdot \vec{NS}}{|\vec{NM}| \cdot |\vec{NS}| } \\&= \frac{0 \cdot 0 + (-4)\cdot (-2) + 0 \cdot 3}{\sqrt{0^2 +(-4)^2 + 0^2} \cdot \sqrt{0^2 + (-2)^2 + 3^2} } \\&= \frac{8}{4 \sqrt{13}} \\&= \frac 2{\sqrt{13}}  \\ \implies \alpha &= \arccos \left( \frac 2{\sqrt{13}}\right) \approx 56,3° \end{aligned}$$

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Vielen vielen Dank für diese ausführliche Rechnung!! Wie man auf die Koordinaten bei NM und NS kommt weiß ich selbst leider nicht

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Wie man auf die Koordinaten bei NM und NS kommt weiß ich selbst leider nicht

Ok - meines Erachtens, ist es am einfachsten, sie aus der Zeichnung zu lesen. Es reicht, das Bild, welches bereits in der Aufgabenstellung gegeben ist. Wenn Du aber oben auf das Bild in meiner Antwort klickst, so öffnet sich Geoknecht3D und man kann die Szene mit der Maus drehen. So bekommst Du einen noch besseren räumlichen Eindruck.

Im Bild sieht Du das Koordinatensystem, d.h. die X-, die Y- und die Z-Achse. In Geoknecht3D sind sie grün, blau und rot dargestellt (in dieser Reihenfolge).

Der Vektor \(\vec{NM}\) gibt den Weg vom Punkt \(N\) zum Punkt \(M\) an. Wieviel Schritte musst Du in X-Richtung gehen um von \(N\) nach \(M\) zu kommen?

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Antwort. keinen: da sich die X-Koordinate auf diesem Weg nicht ändert. Daher ist die  X-Koordinate =0.

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Wieviel Schritte muss man in Y-Richtung gehen, um von \(N\) nach \(M\) zu kommen?

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Antwort: 4 Schritte, aber gegen(!) die Y-Richtung. D.h. das zählt negativ. Folglich ist die Y-Koordinate \(=-4\)

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Wieviel Schritte muss man in Z-Richtung gehen, um von \(N\) nach \(M\) zu kommen?

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Antwort: auch keinen, denn es geht weder rauf noch runter. Der Vektor \(\vec{NM}\) bleibt in der XY-Ebene. Z-Koordinate \(=0\)

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.. und für den Vektor \(\vec{NS}\) versuche es bitte mal allein. Falls Du Fragen hast, so melde Dich bitte.