Beweis, dass es keine surjektive Abbildung f: X → P(X) gibt.

Question

Vielleicht kann mir jemand bei folgender Frage helfen:

Sei \( X \) eine Menge. Beweisen Sie, dass es keine surjektive Abbildung \( f:X\to P(X) \) gibt. Hinweis: Verwenden Sie die Menge \( Y :=  \{ x \in X:x \not\in f(x) \}\) für die Formulierung eines geeigneten Widerspruchsbeweises.

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Surjektive Abbildung einer Menge M mit Potenzmenge P(M)

Stichworte: surjektiv,abbildung,beweis

Folgende Frage:

Sei M eine Menge. Beweisen sie, dass es keine surjektive Abbildung f : M→P(M) gibt.

Hinweis: Betrachten Sie: x ist element M, x ist nicht element f(x).

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Vom Duplikat:

Titel: Zeigen sie, dass keine surjektive Abbildung von einer Menge in ihre Potenzmenge existiert.

Stichworte: surjektiv,potenzmenge

Zeigen sie, dass keine surjektive Abbildung von einer Menge in ihre Potenzmenge existiert.

Hinweis: Widerspruchsbeweis! Nehmen sie an, es gebe eine surjektive Abbildung

M → P (M)

und betrachten sie dann die Menge

A = {a ∈ M | a ∉ f (a) }.

Answer 1

Sei x ∈ X mit f(x) = Y (ein solches x existiert wenn f surjektiv ist).

Angenommen x ∈ f(x). Laut Definition von Y ist dann x∉Y. Wegen Y = f(x) ist dann x∉f(x). Das widerspricht der Annahme x ∈ f(x).

Angenommen x ∉ f(x). Laut Definition von Y ist dann x∈Y. Wegen Y = f(x) ist dann x∈f(x). Das widerspricht der Annahme x ∉ f(x).

Weil sowohl die Annahme x ∈ f(x), als auch die Annahme x ∉ f(x) zu einem Widerspruch führen, muss schon die Annahme, es existiere ein x ∈ X mit f(x) = Y falsch gewesen sein.

Answer 2

Die Frage war neulich schon mal da. Hier noch mal meine Antwort:

Sei  f eine surjektive Abb von X nach P(X).

Diese Annahme wird zu einemWiderspruch geführt:

Bilde die Menge M aller a aus X, die nicht in f(a) enthalten sind.

Wegen der Surjektivität hat M ein Urbild, nenne es b.

Ist nun b ein Element von M ?

Wäre es so, dann würde nach Def. von M gelten b nicht in f(b).

Aber f(b)=M, also b nicht in M.

Andererseits folgt aus b nicht in M, dass nach Def. von M

b ein Element von M ist. etc.

Also gibt es keine surjektive Abb.

Comments

Durch welche Überlegung kommt man darauf die Menge M zu bilden, bzw. was erlaubt einem dieses Vorgehen? Dies ist das einzige das mir an diesem Beweis noch nicht klar ist, und ich hoffe wirklich, dass mich jemand in dieser Hinsicht erleuchten kann.

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Menge bilden ist ja erlaubt.

Dass man ausgerechnet mit dieser Menge einen

Widerspruch erzeugen kann, habe ich auch mal

irgendo gelernt. Steht bestimmt auch irgendwo im Netz.