Ich denke mal, du möchtest
"Seien V und W zwei K-Vektorräume und sei f: V --> W ein Isomorphismus. Zeigen Sie, dass die Umkehrabbildung f^-1 : W --> V auch ein Isomorphismus ist."
wissen, richtig?
Isomorphismus gilt nur, wenn die Abbildung linear ist. Du musst also zwei Dinge zeigen:
1. f-1 ist eine Bijektion.
2. f-1 ist linear.
Zu 1.: Ergibt sich aus der Definition.
Zu 2.: Seien w1,w2 ∈W, dann gilt f -1 (w1 + w2 ) = f -1 (f(f -1 (w1 )) + f(f -1 (w2 )))
= f -1 (f(f -1 (w1 ) + f -1 (w2 ))) (wegen der Linearität von f)
= f -1 (w1 ) + f -1 (w2 ).
Analog dazu kann die skalare Multiplikation behandelt werden.
