Stimmt dieses Ergebnis zur Zerlegung von Brüchen? (Gleichungssystem)

Question

$$ \frac { { x }^{ 3 }+{ x }^{ 2 }+x+1 }{ { { x }^{ 4 }-2x }^{ 3 }+\colorbox{#ffcccc}{2}{ x }^{ 2 } } =\frac { A }{ x } +\frac { B }{ { x }^{ 2 } } +\frac { Cx+D }{ { { x }^{ 2 }-2x }+2 } \\ \\ \Longrightarrow \frac { Ax{ { (x }^{ 2 }-2x }+2) }{ x } +\frac { B{ { (x }^{ 2 }-2x }+2) }{ { x }^{ 2 } } +\frac { (Cx+D){ x }^{ 2 } }{ { { x }^{ 2 }-2x }+2 } \\ \Longleftrightarrow \frac { A{ { x }^{ 3 }-2{ Ax }^{ 2 } }+2Ax }{ x } +\frac { { { Bx }^{ 2 }-2Bx }+2B }{ { x }^{ 2 } } +\frac { C{ x }^{ 3 }+D{ x }^{ 2 } }{ { { x }^{ 2 }-2x }+2 } \\ \Longleftrightarrow \frac { (A+C){ x }^{ 3 }+(-2A+B){ x }^{ 2 }+(2A-2B+D)x+2B }{ { x }^{ 2 }({ { x }^{ 2 }-2x }+2) } \\ Gleichungssystem:\\ I:\quad \quad A+C=1\\ II:\quad -2A+B\quad =1\\ III: \quad 2A-2B+D=1\\ IV: \quad 2B=1 $$

Es folgt:

$$ A = -\frac { 1 }{ 4 } ,B=-\frac { 1 }{ 2 }, D=\frac { 5 }{ 2 } \text{ und } C=\frac { 5 }{ 4 } ... $$

Answer 1

EDIT: Weil die Aufgabe nun anders lautet:

Der Ansatz stimmt, ich habe aber andere Koeffizienten heraus:

A=1

B=1/2

C=0

D=5/2

Comments

Ich habe mich am Anfang verschrieben, das ist die korrekte Ausgangsfunktion (x^3+x^2+x+1)/(x^4-2x^3+2x^2)

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Danke, ich habs gerade selbst gemerkt:)