Konvergenz untersuchen (n-1/n)^-n

Question

ich soll die Folge (n-1/n)^-n auf Konvergenz untersuchen.

Mir ist bewusst, dass der Grenzwert 0 ist und die Folge konvergiert. Jedoch komm ich durch Umformungen nicht weiter...

Comments

Wie waere es mit abschaetzen statt umformen? So etwas wie \(n-\frac{1}{n}>2\) vielleicht?

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Kann ich das denn machen? Für n=1 würde die Aussage doch nicht stimmen...

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Wen interessiert, was für \(n=1\) ist, wenn ich den Grenzuebergang \(n\to\infty\) machen will? Es reicht, wenn die Abschaetzung für fast alle \(n\) gilt. Ob das so ist, musst Du Dir natuerlich ueberlegen.

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Okay klar das macht sinn...

Aber warum dann die 2 und nicht zum Beispiel die 1?

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Weil \(1\) zu wenig ist. Du musst ja noch zum Kehrwert und dann zur \(n\)-ten Potenz uebergehen, um ins Geschaeft zu kommen. Bis jetzt hast Du doch noch gar nichts, woraus man den gesuchten Grenzwert ablesen koennte.

Statt \(2\) kannst Du auch \(47\) oder \(1000^{1000^{1000}}\) nehmen. Irgendwas \(>1\) halt.

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Wie wäre es mit dem sandwichkritrium für folgen und wie fakename sagt n - (1/n) > 2

Ab n > 2 gilt für sämtliche n:

$$ 2 < n - \frac{1}{n} < n \\$$ Da der ganze Ausdruck positiv ist gilt für den Kehrwert:

$$\frac{1}{n} < \frac{1}{n - \frac{1}{n}} < \frac{1}{2}$$
$$\frac{1}{{n}^{n}} < \frac{1}{{\left({n - \frac{1}{n}} \right)}^{n}} < \frac{1}{{2}^{n}}$$

Dass die linke und rechte Seite gegen Null geht für n gegen unendlich darf man sicherlich als bekannt annehmen.

Answer 1

Hier mal ein paar Ideen

Also es gibt verschiedene Ansätze:

Man könnte sich z.B. ein Paar Werte berechnen lassen und einen Graphen aufstellen, dort dürfte dann schon ersichtlich sein, um was es geht.

n = 2 -> 4/9
n = 3 = 27/512
....

Eine Abschätzung wäre auch machbar!

...

Man kann den Ausdruck ja auch etwas umschreiben:

$$  \frac { 1 }{ { \left( n-\frac { 1 }{ n }  \right)  }^{ n } } =\frac { 1 }{ { \left( -\frac { 1-{ n }^{ 2 } }{ n }  \right)  }^{ n } }  $$

Wenn man sich selbst die Folge:
1/n ansieht, ist ja auch klar, wohin das führt.

Comments

Viele Dank :)

Die 1. Idee ist als Lösung wahrscheinlich zu ungenau. Mit der Idee die Folge umzuschreiben bin ich nach Stunden langem umformen nichts bei rausgekommen.

Ihre Idee mit dem Abschätzen würde mich jedoch sehr interessieren.Wie würden sie das explizit in diesem Fall machen?

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Hi,

du müsstest dir dann eine andere Folge überlegen, die größer oder kleiner ist, von der du aber weißt, dass sie konvergiert. Wenn das nämlich für die eine Folge gilt, gilt das dann auch für die andere.

Bei Reihen nennt man sowas, Majoranten bzw. minoranten Kriterium