Verteilungsfunktion - Frage zum Beispiel

Question

bearbeite gerade eine Aufgabe zum Thema Verteilungsfunktion und habe folgendes Beispiel gefunden:

Gegeben ist die Dichtefunktion:

\( f(x) = \begin{cases} 0 ,\quad x<0 \\  \frac{1}{2} , \quad 2 \leq x\leq 4\\ 0 ,\quad x >4  \end{cases} \)

Berechne die Verteilungsfunktion:

1. Abschnitt: x < 2

\( F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) dt = \int_{-\infty}^{0}0 dt = 0\)

2. Abschnitt: 2 ≤ x ≤ 4

\( F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) dt = \int_{-\infty}^{2} 0 dt  +  \int_{2}^{x} \frac{1}{2} dt = 0 +[\frac{1}{2}t]_{2}^{x} = \frac{1}{2}x - 1 \)

3.Abschnitt: x > 4

\( F(x) = 1 \)

Daraus folgt:

\( F(x) = \begin{cases} 0 ,\quad x<0 \\  \frac{1}{2}x-1 , \quad 2 \leq x\leq 4\\ 1 ,\quad x >4  \end{cases} \)

Jetzt zu meinen Fragen:

1. Warum wird im 2.Abschnitt kein dritten Intervall berechnet, das von x bis 4 geht bzw. warum nicht direkt ein großes von 2 bis 4 ?

2. Warum ist bei x<2 F(x)=0 und bei x>4 F(x)=1 ?

Comments

Die Aufgabe ist komisch. Die Dichtefunktion ist in dem Bereich zwischen 0 und 2 nicht definiert. Bist du sicher dass du sie richtig abgeschrieben hast?

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Es soll sicher x < 2 lauten.

Zumindest wäre das logisch.

"Warum wird im 2.Abschnitt kein dritten Intervall gerechnet, das von x bis 4 geht bzw. warum nicht direkt ein großes von 2 bis 4 ?"

Ich habe Probleme deine Frage zu verstehen. Es wird doch ein Intervall von 2 bis 4 berechnet.

Und was soll ein Intervall von x bis 4? x ist doch eh die Unbekannte und 2 <= x <= 4 ist nur die Bedingung für ein beliebiges x.

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Ja, ihr habt recht. Es soll tatsächlich x < 2 sein. Ich hab mich verschrieben.

War schon was später, als ich mich an der Aufgabe versucht habe und dann nen Denkfehler gehabt.

Trotzdem danke für die Hilfe.

Answer 1

Du hast die drei Intervalle \( (-\infty \ ,\ 2) \), \( [2 \ , \  4] \) und \( (4 \ , \infty) \) in der Du die Verteilungsfunktion untersuchen musst. Im ersten Intervall ist die Dichte \( 0 \) also auch das Integral darüber und somit die Verteilungsfunktion. Ist  \( x \) aus dem zweiten Intervall, mus das erste Intervall ganz und das zweite bis zum Punkt \( x \) berücksichtigt werden. Das ergibt den Wert für die Verteilungsfunktion von \( \frac{1}{2}(x-2) \).

Ist \( x \) aus dem dritten Intervall, muss über die ersten beiden Intervalle komplett integriert werden. Das ergibt für das erste Intervall \( 0 \) und für das zweite Intervall den Wert \( 1 \). Da die Dichte im dritten Intervall \( 0 \) ist, kommt von dem Intervall kein Beitrag mehr.

Also alles wie in Deiner Musterlösung.