Lipschitz-Stetigkeit einer Metrik

Question

brauche mal Hilfe.

Sei (X,d) ein metrischer Raum, A eine nicht-leere Teilmenge von X.

Sei f: X-->R,   f(x) = d(x,A) = inf {d(x,a) | a € A}

Laut Klausurkorrektur soll diese Funktion Lipschitz-Stetig sein, und da es eine Ankreuz-Aufgabe war, muss man das auf einen Blick sehen können.

Kann mir das wer erläutern?

Gruß

Jellal

Answer 1

sei ohne Beschränkung der Allgemeinheit d(x1, A) <= d(x2, A). Dann existieren y1 und y2 in A, sodass d(x1, A) = |x1 - y1| und d(x2, A) = |x2 - y2|. Es gilt |x1 - y1| <= |x1 - a| für alle a aus A, insbesondere also für y2:

|x1 - y1| - |x2 - y2| <= |x1 - y2| - |x2 - y2|

Da d eine Metrik ist, gilt die Dreiecksungleichung (in einer umgestellten Form):

|x1 - y2| - |x2 - y2| <= |x1 - x2|.

Das heißt, insgesamt gilt:

|x1 - y1| - |x2 - y2| <= |x1 - y2| - |x2 - y2| <= |x1 - x2|

und die Lipschitzstetigkeit der Metrik ist gezeigt.

MfG

Mister

Comments

Hey nochmal, danke Dir!


Ich habe mir die Begründung nun selbst erschlossen, allerdings mit Papier, Bleistift und ein wenig Geometrie - du hast die formal korrekte Begründung geliefert :)


Gruß

Jellal

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Hallo Jellal,

ein geometrischer Beweis ist auch ein Beweis. Und ein Blatt Papier ist ja im weitesten Sinne ein metrischer Raum (mit singulären Randpunkten).

MfG

Mister

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"Dann existieren y1 und y2 in A, sodass d(x1, A) = |x1 - y1| und d(x2, A) = |x2 - y2|."

Mit \(\lvert x_1-y_1\rvert\) meinst du vermutlich \(d(x_1,y_1)\). Aber wieso sollten solche \(y_1\) und \(y_2\) existieren?

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Ja stimmt, ich meine mit |x1 - y1| eigentlich d(x1, y1).

Und der Satz muss eigentlich lauten:

"Dann existieren y1 und y2 in X, sodass d(x1, A) = d(x1, y1) und d(x2, A) = d(x2, y2)."

Denn A muss ja nicht, wie du vermutlich anmerken würdest, abgeschlossen sein.

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Auch das muss nicht stimmen. Betrachte \(X=\{-1\}\cup(0,1)\) mit der induzierten Standardmetrik (Betrag), \(A:=(0,1)\) und \(x_1=-1\). Dann ist \(d(x_1,A)=1\), aber dieses Infimum wird nicht angenommen.

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Nun ist aber jeder metrische Raum vervollständigbar, sodass X ↦ {- 1} ∪ [0, 1] abgebildet werden kann. Nennen wir dies nun X', so ist der Satz so zu schreiben:

"Dann existieren y1 und y2 in einer Vervollständigung X' von X, sodass d(x1, A) = d(x1, y1) und d(x2, A) = d(x2, y2) in X'."