Doppelintegral: welche Funktion(en) stehen hinter den Integralzeichen?

Question

Hallo.

Ich habe zwei Funktionen gegeben, deren Schnittpunkte ein Gebiet eingrenzen, das ich mit Doppelintegralberechnung ausrechnen soll.

Die Integrationsgrenzen habe ich bereits ermittelt. Aber was genau steht dann als zu integrierender Term bzw. Funktion hinter den Integralzeichen? Also wie finde ich heraus, WAS ich überhaupt doppelintegrieren soll?

Answer 1

wenn die Fläche zu berechnen ist, dann lautet der Ansatz:

A=∫∫dA

wobei da noch jeweils oben und unten Grenzen stehen die von den beiden Funktionen, die das Gebiet begrenzen abhängen.

Integriert wird über das Flächenelement dA.

Welche Form das dA hat hängt davon ab,

welches Koordinatensystem du verwendest. Im einfachsten Fall (kartesisches Koordinatensystem)

ist dA=dxdy.

Comments

Okay, danke. Leider verstehe ich es noch nicht im Detail. Auf dem Foto ist eine Skizze und mein Ansatz zu den Intervallgranzen. Stimmen die schonmal? Kannst du mir konkret sagen, wie ich für dieses Beispiel auf den zu integrierenden Term komme?

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Der Ansatz stimmt so. An der Stelle der vielen Punkte .......

kommt nix hin, ich habe ja bereits gesagt dass man nur über dxdy integriert. Konkret sehe es dann so aus:

$$ A=\int_{0}^{4}(\int_{x^2/8}^{\sqrt{x}}dy)dx=\int_{0}^{4}(\sqrt{x}-x^2/8)dx $$

Das letzte Integral kannst du mal selber ausrechnen.

Das dieses Zwischenergebnis passt ist auch anschaulich klar:

die Fläche ergibt sich, indem man zuerst das Integral der Wurzelfunktion im Intervall berechnet und dann noch den Flächenteil der Parabel abzieht.